Questão: de 800 pés quadrados do lado de fora do prédio para exposição de plantas e flores em vasos. Um dos lados será formado pela parede externa da loja, o lado oposto será feito de uma cerca de aço galvanizado e os outros dois lados serão construídos em tábua de pinho. Se o custo da cerca de tábua de pinho é de
por pé linear e a cerca de aço custa
por pé linear, determine as dimensões da área cercada que pode ser construída com custo mínimo.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma área de 800 pés quadrados para expor plantas e flores. Essa área será cercada de um lado pela parede da loja, do lado oposto por uma cerca de aço galvanizado, e os outros dois lados por tábuas de pinho. Queremos descobrir as dimensões dessa área que vão minimizar o custo total da cerca.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de área de retângulos e de otimização de custos. Precisaremos estabelecer equações que relacionem as dimensões da área com os custos das cercas.
Passo 2
Vamos começar definindo as dimensões da área. Vamos chamar:
- x: a largura da área, paralela à parede da loja.
- y: o comprimento da área, perpendicular à parede da loja.
Sabemos que a área é de 800 pés quadrados, então podemos escrever a equação:
Passo 3
Agora, vamos analisar os custos das cercas. Temos:
- Cerca de aço galvanizado: será usada em um dos lados maiores (paralelo à parede), custando R$ 3,00 por pé linear.
- Tábuas de pinho: serão usadas nos outros dois lados menores (perpendiculares à parede), custando R$ 6,00 por pé linear.
Então, o custo total
da cerca será:
Simplificando:
Passo 4
Queremos minimizar o custo
. Para isso, vamos expressar
em termos de uma única variável. Usando a equação da área:
Substituindo
na equação do custo:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que minimiza o custo
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero.
A derivada de
em relação a
é:
Igualando a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que encontramos
, vamos encontrar
usando a equação da área:
Substituindo
:
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são aproximadamente 56,57 pés de largura (paralelo à parede) e 14,14 pés de comprimento.
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Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de
na regiào triangular de vértices
e
.
Considere o campo de vetores
e as curvas
e
.
Calcule as integrais de linha: e
.
Calcule as integrais de linha:
Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a região das mesmas:
e