Questão: de 800 pés quadrados do lado de fora do prédio para exposição de plantas e flores em vasos. Um dos lados será formado pela parede externa da loja, o lado oposto será feito de uma cerca de aço galvanizado e os outros dois lados serão construídos em tábua de pinho. Se o custo da cerca de tábua de pinho é de por pé linear e a cerca de aço custa por pé linear, determine as dimensões da área cercada que pode ser construída com custo mínimo.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma área de 800 pés quadrados para expor plantas e flores. Essa área será cercada de um lado pela parede da loja, do lado oposto por uma cerca de aço galvanizado, e os outros dois lados por tábuas de pinho. Queremos descobrir as dimensões dessa área que vão minimizar o custo total da cerca.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de área de retângulos e de otimização de custos. Precisaremos estabelecer equações que relacionem as dimensões da área com os custos das cercas.

Passo 2

Vamos começar definindo as dimensões da área. Vamos chamar:
  • x: a largura da área, paralela à parede da loja.
  • y: o comprimento da área, perpendicular à parede da loja.
Sabemos que a área é de 800 pés quadrados, então podemos escrever a equação:

Passo 3

Agora, vamos analisar os custos das cercas. Temos:
  • Cerca de aço galvanizado: será usada em um dos lados maiores (paralelo à parede), custando R$ 3,00 por pé linear.
  • Tábuas de pinho: serão usadas nos outros dois lados menores (perpendiculares à parede), custando R$ 6,00 por pé linear.
Então, o custo total da cerca será:
Simplificando:

Passo 4

Queremos minimizar o custo . Para isso, vamos expressar em termos de uma única variável. Usando a equação da área:
Substituindo na equação do custo:

Passo 5

Para encontrar o valor de que minimiza o custo , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero.
A derivada de em relação a é:
Igualando a derivada a zero:
Resolvendo para :
é

Passo 6

Agora que encontramos , vamos encontrar usando a equação da área:
Substituindo :
é

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são aproximadamente 56,57 pés de largura (paralelo à parede) e 14,14 pés de comprimento.

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Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de na regiào triangular de vértices e .
Considere o campo de vetores
e as curvas e .
Calcule as integrais de linha: e .
Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a região das mesmas: e