Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
y = x, y = 0, x = 2, x = 4 em torno do eixo x = 1

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas , , e em torno da reta . Para isso, vamos usar o método das seções transversais, também conhecido como método dos anéis ou “washers”. Vamos precisar entender como calcular volumes de sólidos de rotação e aplicar integrais para obter o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região. As curvas é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. é o eixo , e as linhas verticais e delimitam a região entre e . Ao girar essa região em torno da reta , formamos um sólido.

Passo 3

Como vamos girar em torno de , que é uma reta vertical, usaremos o método dos anéis. Esse método envolve calcular a diferença entre dois raios para cada “anel” formado pela rotação.

Passo 4

Vamos identificar o raio externo e o raio interno para o anel. O raio externo é a distância da reta de rotação ( ) até a linha , e o raio interno é a distância da reta de rotação até a linha .
Matematicamente:
  • Raio externo
  • Raio interno

Passo 5

A área de cada anel é dada por:
Substituindo os valores dos raios:

Passo 6

Para encontrar o volume total, vamos integrar a área dos anéis ao longo do eixo de 2 a 4:

Passo 7

Calculando a integral:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada é unidades cúbicas.

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