Considere o campo vetorial
no plano.
a) Mostre que o campo
é conservativo.
a) Mostre que o campo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
no plano. O exercício pede pra mostrar que esse campo é conservativo. Isso pertence à matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar verificar se as derivadas parciais dos componentes do campo satisfazem uma condição especial que indica que o campo é conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso implica que as derivadas parciais de
e
devem satisfazer:
Então, vamos calcular essas derivadas para o nosso campo.
Passo 3
Identificando
e
no nosso campo:
Agora, vamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
:
E agora
:
Perceba que ambas as derivadas são iguais:
.
Passo 5
Como
, isso satisfaz a condição necessária para que o campo
seja conservativo. Portanto, a gente conseguiu mostrar que
é realmente um campo conservativo.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo.
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(i) Seja , calcule
e
.
(i) Seja
Considere a região e
no plano
.
Determine o volume do sólido que está abaixo do semi-cone e acima de
.
Determine o volume do sólido que está abaixo do semi-cone
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(h) Seja , calcule
e
. (aplique a função ln e depois a exponencial. Isto vai fazer a função ficar com mesmo formato do item anterior)
(h) Seja
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(k) Seja , calcule
e
.
(k) Seja