Considere o campo vetorial F(x, y) = (2xy - 3)i + (x^2 + e^(2y))j no plano.
a) Mostre que o campo F é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial no plano. O exercício pede pra mostrar que esse campo é conservativo. Isso pertence à matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar verificar se as derivadas parciais dos componentes do campo satisfazem uma condição especial que indica que o campo é conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Isso implica que as derivadas parciais de e devem satisfazer:
Então, vamos calcular essas derivadas para o nosso campo.

Passo 3

Identificando e no nosso campo:
Agora, vamos calcular e .

Passo 4

Calculando :
E agora :
Perceba que ambas as derivadas são iguais: .

Passo 5

Como , isso satisfaz a condição necessária para que o campo seja conservativo. Portanto, a gente conseguiu mostrar que é realmente um campo conservativo.

Resposta

O campo vetorial é conservativo.

Exercícios relacionados

Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(i) Seja f(x) = 3^(x^2), calcule f'(x) e f'(0).
Considere a região e D = {(x, y) : x^2 + y^2 <= 4, y >= 0} no plano y ≥ x.
Determine o volume do sólido que está abaixo do semi-cone x y e acima de z = raiz(x^2 + y^2).
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(h) Seja f(x) = 3^x, calcule f'(x) e f'(1). (aplique a função ln e depois a exponencial. Isto vai fazer a função ficar com mesmo formato do item anterior)
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(k) Seja f(x) = cos(2 x^3), calcule f'(x) e f'(0).