Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(k) Seja f(x) = cos(2 x^3), calcule f'(x) e f'(0).

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisamos calcular a derivada dela, , e depois encontrar o valor dessa derivada quando , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar as propriedades das derivadas, especialmente a regra da cadeia, que é super útil quando a gente tem funções compostas, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função cosseno é , onde é uma função de . No nosso caso, .

Passo 3

Agora, vamos derivar . A derivada de em relação a é:

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Substituindo na expressão que encontramos:

Resposta

e .

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