Considere a região e
no plano
.
Determine o volume do sólido que está abaixo do semi-cone
e acima de
.
Determine o volume do sólido que está abaixo do semi-cone
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O exercício fala sobre uma região
no plano
definida por
,
e
. A gente precisa encontrar o volume do sólido que está abaixo do semi-cone
e acima dessa região
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral e coordenadas polares, que facilitam bastante quando lidamos com círculos e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A condição
define um círculo de raio 2 centrado na origem. A condição
limita isso para a metade de cima do círculo. E
significa que estamos apenas na parte onde
é maior ou igual a
, ou seja, acima da reta
. Então,
é um setor do círculo de raio 2, na metade superior, acima da diagonal
.
Passo 3
Agora, para encontrar o volume do sólido, vamos integrar a função que define o cone
sobre a região
. Isso significa que vamos somar todas as pequenas “fatias” do volume acima de cada ponto em
até o topo do cone.
Matematicamente, o volume
é dado por:
Passo 4
Como estamos lidando com um círculo e um cone, coordenadas polares são super úteis aqui. Nas coordenadas polares,
e
, e a área diferencial
.
Também,
simplifica para
. Então, nossa integral fica:
Precisamos agora determinar os limites de
.
Passo 5
Vamos determinar os ângulos que definem a região
. Sabemos que
, o que em coordenadas polares significa
, ou seja,
. Isso acontece quando
varia de
a
.
Então, nossos limites são
e
. Agora, vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(e) Seja , calcule
e
(e) Seja
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(b) Seja , calcule
e
(b) Seja
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(i) Seja , calcule
e
.
(i) Seja
Considere o campo vetorial
no plano.
a) Mostre que o campo é conservativo.
a) Mostre que o campo