Considere a região e D = {(x, y) : x^2 + y^2 <= 4, y >= 0} no plano y ≥ x.
Determine o volume do sólido que está abaixo do semi-cone x y e acima de z = raiz(x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício fala sobre uma região no plano definida por , e . A gente precisa encontrar o volume do sólido que está abaixo do semi-cone e acima dessa região . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral e coordenadas polares, que facilitam bastante quando lidamos com círculos e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A condição define um círculo de raio 2 centrado na origem. A condição limita isso para a metade de cima do círculo. E significa que estamos apenas na parte onde é maior ou igual a , ou seja, acima da reta . Então, é um setor do círculo de raio 2, na metade superior, acima da diagonal .

Passo 3

Agora, para encontrar o volume do sólido, vamos integrar a função que define o cone sobre a região . Isso significa que vamos somar todas as pequenas “fatias” do volume acima de cada ponto em até o topo do cone.
Matematicamente, o volume é dado por:

Passo 4

Como estamos lidando com um círculo e um cone, coordenadas polares são super úteis aqui. Nas coordenadas polares, e , e a área diferencial .
Também, simplifica para . Então, nossa integral fica:
Precisamos agora determinar os limites de .

Passo 5

Vamos determinar os ângulos que definem a região . Sabemos que , o que em coordenadas polares significa , ou seja, . Isso acontece quando varia de a .
Então, nossos limites são e . Agora, vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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