Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(i) Seja f(x) = 3^(x^2), calcule f'(x) e f'(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a derivada da função e depois encontrar o valor dessa derivada quando . Para resolver isso, vamos usar as propriedades de derivadas, especialmente a regra da cadeia e a derivada de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar uma função exponencial do tipo , onde é uma constante e é uma função de . A fórmula da derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Aplicando a fórmula à nossa função:
Agora, vamos calcular a derivada de :
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 4

Agora, queremos encontrar . Basta substituir na expressão que encontramos:

Resposta

A derivada de é e .

Exercícios relacionados

Considere a região e D = {(x, y) : x^2 + y^2 <= 4, y >= 0} no plano y ≥ x.
Determine o volume do sólido que está abaixo do semi-cone x y e acima de z = raiz(x^2 + y^2).
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(e) Seja f(x) = 1/x, calcule f'(x) e f'(1)
Considere o campo vetorial F(x, y) = (2xy - 3)i + (x^2 + e^(2y))j no plano.
a) Mostre que o campo F é conservativo.
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(h) Seja f(x) = 3^x, calcule f'(x) e f'(1). (aplique a função ln e depois a exponencial. Isto vai fazer a função ficar com mesmo formato do item anterior)