Considere o campo vetorial F(x, y)=(2 x y-3) i+(x^2+e^2 y) j no plano.
c) Utilize a função potencial para calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é qualquer curva suave com ponto inicial (0,0), e ponto final (-1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha da função vetorial F(x, y) = (2xy - 3)i + (x^2 + e^2y)j. Essa integral vai ser calculada usando a função potencial. Para isso, precisamos encontrar a função potencial da nossa função vetorial F. A função potencial é uma função escalar cuja derivada dá a função vetorial original. Vamos precisar lembrar como encontrar essa função potencial e depois usar os pontos inicial e final para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo, ou seja, se ele possui uma função potencial. Para isso, verificamos se as derivadas parciais se igualam:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Onde P = 2xy - 3 e Q = x^2 + e^2y. Calculando:
partial Ppartial y = 2x partial Qpartial x = 2x
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo é conservativo e podemos encontrar uma função potencial.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função potencial U(x, y). Sabemos que:
partial Upartial x = P = 2xy - 3
Integrando em relação a x:
U(x, y) = integral (2xy - 3) , dx = x^2 y - 3x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função de y que pode ser determinada usando a segunda componente.

Passo 4

Vamos usar a segunda componente para determinar h(y). Sabemos que:
partial Upartial y = Q = x^2 + e^2y
Derivando U(x, y) em relação a y:
partial Upartial y = x^2 + h'(y) = x^2 + e^2y
Comparando, temos:
h'(y) = e^2y h(y) = 12e^2y + C
Podemos ignorar a constante C pois ela não afeta a integral de linha.

Passo 5

Então, a função potencial é:
U(x, y) = x^2 y - 3x + 12e^2y
Agora, para calcular a integral de linha, usamos a diferença dos valores da função potencial nos pontos final e inicial.

Resposta

A integral de linha é:
integralC F cdot dr = U(-1, 0) - U(0, 0)
Calculando:
U(-1, 0) = (-1)^2 cdot 0 - 3(-1) + 12e^0 = 0 + 3 + 12 = 3.5 U(0, 0) = 0^2 cdot 0 - 3 cdot 0 + 12e^0 = 0 + 0 + 12 = 0.5 integralC F cdot dr = 3.5 - 0.5 = 3
Portanto, a integral de linha é igual a 3.

Exercícios relacionados

Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
b) f(x) = x^2 + x + 1 em p = 1
Considere o campo vetorial F(x, y)=xx^2+y^2 i+yx^2+y^2 j.
(b) Calcule a integral ointC F cdot d r onde C é a curva com equações paramétrias
x=1-e^sen(t), y=1-e^cos (t), 0 <= t <= 2 pi
Sabe-se que f é contínua em p = 2 e que f(2) = 8. Mostre que existe delta > 0 tal que para todo x em Df,
2 - delta < x < 2 + delta => f(x) > 7
Derive as funções abaixo f(x) = (raiz3(x) + 1)³ - 3(raiz3(x) + 1)² + 3*raiz3(x) + 2