Considere o campo vetorial
no plano.
c) Utilize a função potencial para calcular a integral de linha
, onde
é qualquer curva suave com ponto inicial
, e ponto final
.
c) Utilize a função potencial para calcular a integral de linha
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha da função vetorial
. Essa integral vai ser calculada usando a função potencial. Para isso, precisamos encontrar a função potencial da nossa função vetorial
. A função potencial é uma função escalar cuja derivada dá a função vetorial original. Vamos precisar lembrar como encontrar essa função potencial e depois usar os pontos inicial e final para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo, ou seja, se ele possui uma função potencial. Para isso, verificamos se as derivadas parciais se igualam:
Onde
e
. Calculando:
Como
, o campo é conservativo e podemos encontrar uma função potencial.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que pode ser determinada usando a segunda componente.
Passo 4
Vamos usar a segunda componente para determinar
. Sabemos que:
Derivando
em relação a
:
Comparando, temos:
Podemos ignorar a constante
pois ela não afeta a integral de linha.
Passo 5
Então, a função potencial é:
Agora, para calcular a integral de linha, usamos a diferença dos valores da função potencial nos pontos final e inicial.
Resposta
A integral de linha é:
Calculando:
Portanto, a integral de linha é igual a
.