Seja y = f(x) a função dada implicitamente por y^5 + 5*y^4 + 10*y^3 + 10*y^2 + 5*y + 1 = x. Determine a reta tangente a função no ponto (1, f(1))

Passo 1

Vamos lá, primeiro entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que está definida de forma um pouco complicada, usando uma equação onde está misturado com . A equação é . O objetivo é encontrar a reta tangente a essa função no ponto . Para isso, vamos precisar usar a derivada implícita para achar a inclinação da reta nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de . Vamos substituir na equação:
Agora, subtraímos 1 de ambos os lados para simplificar:
Perceba que podemos fatorar da seguinte maneira:
O único valor real que faz essa equação valer é . Então, descobrimos que .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada usando derivação implícita. Vamos derivar ambos os lados da equação original em relação a :
Fazendo a derivada, temos:
Agora, vamos fatorar :
Para isolar , dividimos ambos os lados pela expressão que está multiplicando:
Agora, vamos substituir (que encontramos no Passo 2):

Resposta

A reta tangente à função no ponto é:

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Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
b) y = x^2, y = 16 - z^2 ; (4, 16, 0)
Considere o campo vetorial F(x, y)=P i+Q j=2 x y(x^2+y^2)^2 i+y^2-x^2(x^2+y^2)^2 j.
(b) Calcule a integral integralC F cdot d r, onde C é um disco x^2+y^2=epsilon^2, epsilon>0.
Determine os extremos relativos de f, se existirem.
b) f(x, y) = e^(x y)
Determine os extremos relativos de f, se existirem.
f) f(x, y) = sen(x + y) + sen(x) + sen(y); 0 <= x <= 2 pi; 0 <= y <= 2 pi