Seja a função dada implicitamente por . Determine a reta tangente a função no ponto
Passo 1
Vamos lá, primeiro entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que está definida de forma um pouco complicada, usando uma equação onde está misturado com . A equação é . O objetivo é encontrar a reta tangente a essa função no ponto . Para isso, vamos precisar usar a derivada implícita para achar a inclinação da reta nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de . Vamos substituir na equação:
Agora, subtraímos 1 de ambos os lados para simplificar:
Perceba que podemos fatorar da seguinte maneira:
O único valor real que faz essa equação valer é . Então, descobrimos que .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada usando derivação implícita. Vamos derivar ambos os lados da equação original em relação a :
Fazendo a derivada, temos:
Agora, vamos fatorar :
Para isolar , dividimos ambos os lados pela expressão que está multiplicando:
Agora, vamos substituir (que encontramos no Passo 2):