Seja y = f(x) a função dada implicitamente por y^5 + 5*y^4 + 10*y^3 + 10*y^2 + 5*y + 1 = x. Determine a reta tangente a função no ponto (1, f(1))

Passo 1

Vamos lá, primeiro entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que está definida de forma um pouco complicada, usando uma equação onde está misturado com . A equação é . O objetivo é encontrar a reta tangente a essa função no ponto . Para isso, vamos precisar usar a derivada implícita para achar a inclinação da reta nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de . Vamos substituir na equação:
Agora, subtraímos 1 de ambos os lados para simplificar:
Perceba que podemos fatorar da seguinte maneira:
O único valor real que faz essa equação valer é . Então, descobrimos que .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada usando derivação implícita. Vamos derivar ambos os lados da equação original em relação a :
Fazendo a derivada, temos:
Agora, vamos fatorar :
Para isolar , dividimos ambos os lados pela expressão que está multiplicando:
Agora, vamos substituir (que encontramos no Passo 2):

Resposta

A reta tangente à função no ponto é:

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