Considere o campo vetorial F=-y^3(x^2+y^2)^2 i+x y^2(x^2+y^2)^2 j em R^2-(0,0) e sejam gamma e de, respectivamente as circunferências x^2+y^2=1 e (x-1)^2+y^2=4, ambas percorridas no sentido anti-horário. Calcule integralgamma F cdot d gamma e monte a integral integralde (não calcule), perceba como é complicado transcrever isso em uma só mensagem.
Este texto é um trecho do preenchimento extenso, e assim prosseguirá até abranger todos os exemplos de enunciados fornecidos inicialmente.

Passo 1

Beleza! O exercício pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da circunferência definida por e também montar a integral para a circunferência definida por . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.

Passo 2

Vamos começar calculando x = cos theta y = sin theta . Primeiro, vamos parametrizar a circunferência . Como é a circunferência unitária , podemos usar coordenadas polares:
onde varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial dxdtheta = -sin theta dydtheta = cos theta . Derivando dgamma = dxdtheta i + dydtheta j = -sin theta i + cos theta j , dtheta e em relação a :
Logo, o vetor diferencial é:

Passo 4

Substituindo as parametrizações de F = -(sin theta)^3(cos^2 theta + sin^2 theta)^2 i + cos theta (sin theta)^2(cos^2 theta + sin^2 theta)^2 j e F = -sin^3 theta i + cos theta sin^2 theta j na expressão do campo vetorial :
Como , simplificamos:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dgamma = (-sin^3 theta)(-sin theta) + (cos theta sin^2 theta)(cos theta) = sin^4 theta + cos^2 theta sin^2 theta :

Passo 6

Simplificando a expressão:
sin^4 theta + cos^2 theta sin^2 theta = sin^2 theta (sin^2 theta + cos^2 theta) = sin^2 theta cdot 1 = sin^2 theta
Portanto:
F cdot dgamma = sin^2 theta , dtheta

Passo 7

Agora, integramos de integral0^2pi sin^2 theta , dtheta a integral sin^2 theta , dtheta = theta2 - sin 2theta4 + C :
Sabemos que:

Passo 8

Aplicando os limites:
integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = [ theta2 - sin 2theta4 ]0^2pi = 2pi2 - sin 4pi4 - ( 0 - sin 04 ) = pi

Passo 9

Portanto, a integral de linha ao longo de integralgamma F cdot dgamma = pi é:

Passo 10

Agora, vamos montar a integral x = 1 + 2cos theta y = 2sin theta . A circunferência dde é definida por F = -(2sin theta)^3((1 + 2cos theta)^2 + (2sin theta)^2)^2 i + (1 + 2cos theta)(2sin theta)^2((1 + 2cos theta)^2 + (2sin theta)^2)^2 j , que é uma circunferência de raio 2 centrada no ponto integral0^2pi [ -(2sin theta)^3(1 + 4cos theta + 4cos^2 theta + 4sin^2 theta)^2 (-2sin theta) + (1 + 2cos theta)(2sin theta)^2(1 + 4cos theta + 4cos^2 theta + 4sin^2 theta)^2 (2cos theta) ] dtheta . Podemos parametrizá-la da seguinte forma:
onde varia de a .
O vetor diferencial será:
Substituindo e na expressão de :
Portanto, a integral fica definida como:

Resposta

integralgamma F cdot dgamma = pi

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