Considere o campo vetorial
em
e sejam
e
, respectivamente as circunferências
e
, ambas percorridas no sentido anti-horário. Calcule
e monte a integral
(não calcule), perceba como é complicado transcrever isso em uma só mensagem.
Este texto é um trecho do preenchimento extenso, e assim prosseguirá até abranger todos os exemplos de enunciados fornecidos inicialmente.
Este texto é um trecho do preenchimento extenso, e assim prosseguirá até abranger todos os exemplos de enunciados fornecidos inicialmente.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da circunferência
definida por
e também montar a integral para a circunferência
definida por
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.
Passo 2
Vamos começar calculando
. Primeiro, vamos parametrizar a circunferência
. Como
é a circunferência unitária
, podemos usar coordenadas polares:
onde
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial
. Derivando
e
em relação a
:
Logo, o vetor diferencial é:
Passo 4
Substituindo as parametrizações de
e
na expressão do campo vetorial
:
Como
, simplificamos:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Portanto:
Passo 7
Agora, integramos de
a
:
Sabemos que:
Passo 8
Aplicando os limites:
Passo 9
Portanto, a integral de linha ao longo de
é:
Passo 10
Agora, vamos montar a integral
. A circunferência
é definida por
, que é uma circunferência de raio 2 centrada no ponto
. Podemos parametrizá-la da seguinte forma:
onde
varia de
a
.
O vetor diferencial
será:
Substituindo
e
na expressão de
:
Portanto, a integral
fica definida como: