Verifique que div e determine todos os campos de vetores , tais que . (Dica: Use a integral da questão anterior) .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos verificar se a divergência de é igual a zero e encontrar todos os campos vetoriais tais que o rotacional de seja igual a . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente com divergência e rotacional. Para resolver isso, vamos calcular a divergência de e, em seguida, determinar usando técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Para o nosso , temos:
Então,
Portanto,
Confirmamos que a divergência de é zero.
Passo 3
Agora, vamos determinar todos os campos vetoriais tais que . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Queremos que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações parciais:
Vamos resolver esse sistema para encontrar .
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo.
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Vamos começar assumindo que para simplificar.
Passo 5
Com , o sistema se simplifica para:
Vamos resolver a segunda equação para encontrar :
Integrando em relação a :
onde é uma função arbitrária de e .
Agora, resolvemos a terceira equação para encontrar :