Verifique que div F=0 e determine todos os campos de vetores G, tais que rot G = F. (Dica: Use a integral da questão anterior) F = 2 x i + y j - 3 z k.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos verificar se a divergência de é igual a zero e encontrar todos os campos vetoriais tais que o rotacional de seja igual a . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente com divergência e rotacional. Para resolver isso, vamos calcular a divergência de e, em seguida, determinar usando técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Para o nosso , temos:
Então,
Portanto,
Confirmamos que a divergência de é zero.

Passo 3

Agora, vamos determinar todos os campos vetoriais tais que . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Queremos que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações parciais:
Vamos resolver esse sistema para encontrar .

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Vamos começar assumindo que para simplificar.

Passo 5

Com , o sistema se simplifica para:
Vamos resolver a segunda equação para encontrar :
Integrando em relação a :
onde é uma função arbitrária de e .
Agora, resolvemos a terceira equação para encontrar :
Integrando em relação a :
onde é uma função arbitrária de e .

Passo 6

Substituímos e na primeira equação do sistema:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Isso implica que:
Uma solução simples é escolher e . Assim, temos:

Passo 7

Agora, temos todas as componentes de :
Portanto, o campo vetorial é:

Resposta

Um campo vetorial que satisfaz é:

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