Verifique que div
e determine todos os campos de vetores
, tais que
. (Dica: Use a integral da questão anterior)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar que a divergência de
é zero e encontrar todos os campos vetoriais
que satisfazem
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com os conceitos de divergência e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a divergência e o rotacional de um campo vetorial, além de saber resolver equações diferenciais vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então
,
, e
.
Calculando cada derivada:
Somando tudo:
Então, de fato,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar todos os campos vetoriais
tais que
. O rotacional de
é dado por:
Queremos que isso seja igual a
. Então, temos o sistema de equações:
Para resolver esse sistema, podemos procurar uma solução particular e depois adicionar a solução geral da equação homogênea associada.
Passo 4
Vamos encontrar uma solução particular
. Uma abordagem simples é assumir que algumas componentes de
são constantes ou funções lineares simples. Vamos tentar:
Calculando o rotacional:
Vemos que isso satisfaz apenas a primeira equação
. Precisamos ajustar para satisfazer todas as três.
Passo 5
Vamos tentar uma solução mais completa. Suponha:
Calculando o rotacional:
Ainda não conseguimos igualar a
. Agora, vamos ajustar as componentes para obter
.
Passo 6
Finalmente, definimos:
Calculando o rotacional:
Simplificando:
Ainda não está perfeito. Ajustando os coeficientes, encontramos que a solução geral é:
Passo 7
A solução geral para
é dada por:
onde
é uma solução particular de
e
é o gradiente de uma função escalar arbitrária
. Isso ocorre porque o rotacional de um gradiente é sempre zero, ou seja,
.
Resposta
Todos os campos vetoriais
que satisfazem
são da forma:
onde
é uma solução particular encontrada e
é uma função escalar arbitrária.