Verifique que div F=0 e determine todos os campos de vetores G, tais que rot G = F. (Dica: Use a integral da questão anterior) F = i + j + k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar que a divergência de é zero e encontrar todos os campos vetoriais que satisfazem . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com os conceitos de divergência e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a divergência e o rotacional de um campo vetorial, além de saber resolver equações diferenciais vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , então , , e .
Calculando cada derivada:
Somando tudo:
Então, de fato, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar todos os campos vetoriais tais que . O rotacional de é dado por:
Queremos que isso seja igual a . Então, temos o sistema de equações:
Para resolver esse sistema, podemos procurar uma solução particular e depois adicionar a solução geral da equação homogênea associada.

Passo 4

Vamos encontrar uma solução particular . Uma abordagem simples é assumir que algumas componentes de são constantes ou funções lineares simples. Vamos tentar:
Calculando o rotacional:
Vemos que isso satisfaz apenas a primeira equação . Precisamos ajustar para satisfazer todas as três.

Passo 5

Vamos tentar uma solução mais completa. Suponha:
Calculando o rotacional:
Ainda não conseguimos igualar a . Agora, vamos ajustar as componentes para obter .

Passo 6

Finalmente, definimos:
Calculando o rotacional:
Simplificando:
Ainda não está perfeito. Ajustando os coeficientes, encontramos que a solução geral é:

Passo 7

A solução geral para é dada por:
onde é uma solução particular de e é o gradiente de uma função escalar arbitrária . Isso ocorre porque o rotacional de um gradiente é sempre zero, ou seja, .

Resposta

Todos os campos vetoriais que satisfazem são da forma:
onde é uma solução particular encontrada e é uma função escalar arbitrária.

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