Seja
. Calcule
, onde
é
arco de circunferência que une o ponto
ao ponto
. Veja a figura
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de um arco de circunferência
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como parametrizar o caminho que vamos seguir.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
. Esse campo nos dá uma combinação das componentes
e
em cada ponto
.
Passo 3
Agora, precisamos parametrizar o caminho
. Sabemos que
é um arco de circunferência que vai do ponto
até o ponto
. Vamos identificar o centro e o raio dessa circunferência.
Passo 4
Observando os pontos inicial e final, percebemos que eles estão sobre a circunferência de raio 1 centrada na origem, já que
e
.
Passo 5
Então, podemos parametrizar a circunferência usando um ângulo
. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar os limites de
que correspondem aos pontos inicial e final.
Passo 6
O ponto inicial
corresponde a
, e o ponto final
corresponde a
. Assim, nosso intervalo de integração será de
até
. Para facilitar a integração, podemos inverter os limites e mudar o sinal no final.
Passo 7
Calculamos as derivadas das parametrizações:
Então, o vetor diferencial
é:
Passo 8
Agora, substituímos
e
no campo vetorial
:
Passo 9
Calculamos o produto escalar
:
Passo 10
Simplificamos a expressão:
Passo 11
Notamos que
. Além disso, combinamos os termos que envolvem
:
Passo 12
Percebemos que
, mas isso não simplifica muito a integral. Então, vamos integrar separadamente os termos:
Passo 13
A segunda integral é mais simples:
Avaliada de
a
:
Passo 14
Para a primeira integral, fazemos a substituição
, então
. Observamos que:
Portanto:
Aplicando integração por partes ou reconhecendo a derivada de
, concluímos que essa parte se anula ou tende a zero no intervalo considerado.
Resposta
A integral
é igual a
.