Mostre que não existe um campo vetorial
, cujo rotacional é
. (Dica: Calcule
)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que não existe um campo vetorial
cujo rotacional seja
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente os de rotacional (curl) e divergência (div).
Passo 2
Primeiro, lembramos que o rotacional de um campo vetorial
, denotado por
, é outro campo vetorial que representa a tendência de rotação do campo
.
Passo 3
Outra propriedade importante é que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero. Em termos matemáticos, temos:
Isso significa que, se
existir, a divergência do seu rotacional deve ser zero.
Passo 4
No exercício, o rotacional de
é dado por
. Vamos calcular a divergência desse campo vetorial.
Passo 5
A divergência de um campo vetorial
é calculada como:
Aplicando isso ao nosso rotacional:
Passo 6
Conforme a propriedade mencionada no Passo 3, a divergência do rotacional deveria ser zero. Porém, no nosso caso, calculamos que
, que não é zero. Isso gera uma contradição.
Passo 7
Essa contradição significa que não existe nenhum campo vetorial
cuja divergência do rotacional seja igual a 3. Portanto, não pode existir um campo vetorial
cujo rotacional seja
.
Resposta
Não existe um campo vetorial
cujo rotacional seja
.