Mostre que não existe um campo vetorial F, cujo rotacional é x i + y j + z k. (Dica: Calcule div F )

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que não existe um campo vetorial cujo rotacional seja . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente os de rotacional (curl) e divergência (div).

Passo 2

Primeiro, lembramos que o rotacional de um campo vetorial , denotado por , é outro campo vetorial que representa a tendência de rotação do campo .

Passo 3

Outra propriedade importante é que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero. Em termos matemáticos, temos:
Isso significa que, se existir, a divergência do seu rotacional deve ser zero.

Passo 4

No exercício, o rotacional de é dado por . Vamos calcular a divergência desse campo vetorial.

Passo 5

A divergência de um campo vetorial é calculada como:
Aplicando isso ao nosso rotacional:

Passo 6

Conforme a propriedade mencionada no Passo 3, a divergência do rotacional deveria ser zero. Porém, no nosso caso, calculamos que , que não é zero. Isso gera uma contradição.

Passo 7

Essa contradição significa que não existe nenhum campo vetorial cuja divergência do rotacional seja igual a 3. Portanto, não pode existir um campo vetorial cujo rotacional seja .

Resposta

Não existe um campo vetorial cujo rotacional seja .

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