Considere o campo vetorial
, em que
e
são constantes. Para estes valores de
e
, encontre uma função potencial do campo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função potencial para o campo vetorial dado, que é basicamente encontrar uma função que, ao derivar, nos dá de volta o campo vetorial original. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente campos conservativos e funções potenciais. Vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, integrar para achar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar o campo vetorial que a gente tem:
Aqui,
e
.
Passo 3
Para o campo vetorial ser conservativo, as derivadas parciais devem satisfazer a condição:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
E calculando
:
Passo 5
Agora, igualamos as duas derivadas para que o campo seja conservativo:
Vamos rearranjar os termos:
Isso precisa ser válido para todo
e
, então os coeficientes de
e
devem ser zero.
Passo 6
Igualando os coeficientes a zero:
Então, os valores das constantes são
e
.
Passo 7
Agora que temos
e
, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 8
Para encontrar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Igualando as duas expressões:
Isso simplifica para:
Passo 9
Integrando
:
Onde
é a constante de integração. Podemos ignorar
na função potencial.
Passo 10
Substituindo
de volta na expressão para
:
Resposta
A função potencial do campo vetorial é:
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