Considere o campo vetorial F(x, y) = (a x^2 y + y^3 + 1) i + (2 x^3 + b x y^2 + 2) j, em que a e b são constantes. Para estes valores de a e b, encontre uma função potencial do campo F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função potencial para o campo vetorial dado, que é basicamente encontrar uma função que, ao derivar, nos dá de volta o campo vetorial original. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente campos conservativos e funções potenciais. Vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, integrar para achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar o campo vetorial que a gente tem:
Aqui, e .

Passo 3

Para o campo vetorial ser conservativo, as derivadas parciais devem satisfazer a condição:
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando :
E calculando :

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas para que o campo seja conservativo:
Vamos rearranjar os termos:
Isso precisa ser válido para todo e , então os coeficientes de e devem ser zero.

Passo 6

Igualando os coeficientes a zero:
Então, os valores das constantes são e .

Passo 7

Agora que temos e , vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de .

Passo 8

Para encontrar , vamos derivar em relação a e igualar a :
Igualando as duas expressões:
Isso simplifica para:

Passo 9

Integrando :
Onde é a constante de integração. Podemos ignorar na função potencial.

Passo 10

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A função potencial do campo vetorial é:

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