Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral sen^3(theta) cos (theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente usando o método de substituição de variáveis. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma função dentro da integral cuja derivada também esteja presente. Observando e , percebemos que a derivada de é . Isso sugere que podemos fazer uma substituição onde .

Passo 3

Vamos definir . Então, a derivada de dudtheta = cos(theta) Rightarrow du = cos(theta) dtheta em relação a é:

Passo 4

Agora, substituímos integral sen^3(theta) cos (theta) d theta = integral u^3 du e na integral original:

Passo 5

Integrando integral u^3 du = u^44 + C em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u^44 + C = sen^4(theta)4 + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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