Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral raiz3+s(s+1)^2 d s

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular a integral integral raiz3+s(s+1)^2 , ds. Isso envolve o método da substituição de variáveis, que é uma técnica que ajuda a simplificar integrais complicadas ao mudarmos a variável para uma mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Olhando para a expressão raiz3+s(s+1)^2, percebemos que a parte dentro da raiz, 3+s, pode ser uma boa candidata para a substituição. Vamos definir:
u = 3 + s

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a s para substituir ds. Calculando:
duds = 1 implies du = ds

Passo 4

Também vamos expressar s em termos de u para substituir na outra parte da integral. Da substituição u = 3 + s, temos:
s = u - 3

Passo 5

Agora, substituímos s e ds na integral original:
integral raizu cdot ( (u - 3) + 1 )^2 , du = integral raizu cdot (u - 2)^2 , du

Passo 6

Vamos expandir (u - 2)^2 para facilitar a integração:
(u - 2)^2 = u^2 - 4u + 4
Então, a integral fica:
integral raizu cdot (u^2 - 4u + 4) , du

Passo 7

Multiplicamos raizu pelos termos dentro do parêntese:
integral ( u^2 cdot raizu - 4u cdot raizu + 4 cdot raizu ) , du
Lembrando que raizu = u^1/2, então:
integral ( u^2 + 1/2 - 4u^1 + 1/2 + 4u^1/2 ) , du = integral ( u^5/2 - 4u^3/2 + 4u^1/2 ) , du

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente usando a regra da potência:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
u^7/27/2 - 4 cdot u^5/25/2 + 4 cdot u^3/23/2 + C
Simplificando as frações:
27u^7/2 - 85u^5/2 + 83u^3/2 + C

Passo 9

Agora, voltamos à variável original s, lembrando que u = 3 + s:
27(3 + s)^7/2 - 85(3 + s)^5/2 + 83(3 + s)^3/2 + C

Resposta

A integral integral raiz3+s(s+1)^2 , ds é igual a:
27(3 + s)^7/2 - 85(3 + s)^5/2 + 83(3 + s)^3/2 + C

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