Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular a integral
. Isso envolve o método da substituição de variáveis, que é uma técnica que ajuda a simplificar integrais complicadas ao mudarmos a variável para uma mais fácil de trabalhar.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Olhando para a expressão
, percebemos que a parte dentro da raiz,
, pode ser uma boa candidata para a substituição. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Calculando:
Passo 4
Também vamos expressar
em termos de
para substituir na outra parte da integral. Da substituição
, temos:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 6
Vamos expandir
para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 7
Multiplicamos
pelos termos dentro do parêntese:
Lembrando que
, então:
Passo 8
Agora, integramos cada termo separadamente usando a regra da potência:
Aplicando isso:
Simplificando as frações:
Passo 9
Agora, voltamos à variável original
, lembrando que
:
Resposta
A integral
é igual a:
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Considere o campo vetorial
, em que
e
são constantes. Para estes valores de
e
, encontre uma função potencial do campo
.
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Considere
um campo vetorial em
e
uma curva parametrizada por
, com
. Marque com
, se for verdadeira a sentença, ou
, se falsa, justificando cada item: