Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular a integral . Isso envolve o método da substituição de variáveis, que é uma técnica que ajuda a simplificar integrais complicadas ao mudarmos a variável para uma mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Olhando para a expressão , percebemos que a parte dentro da raiz, , pode ser uma boa candidata para a substituição. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir . Calculando:

Passo 4

Também vamos expressar em termos de para substituir na outra parte da integral. Da substituição , temos:

Passo 5

Agora, substituímos e na integral original:

Passo 6

Vamos expandir para facilitar a integração:
Então, a integral fica:

Passo 7

Multiplicamos pelos termos dentro do parêntese:
Lembrando que , então:

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente usando a regra da potência:
Aplicando isso:
Simplificando as frações:

Passo 9

Agora, voltamos à variável original , lembrando que :

Resposta

A integral é igual a:

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Considere o campo vetorial , em que e são constantes. Para estes valores de e , encontre uma função potencial do campo .
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Considere um campo vetorial em e uma curva parametrizada por , com . Marque com , se for verdadeira a sentença, ou , se falsa, justificando cada item: