Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral(t+1t)^3 / 2(t^2-1t^2) d t

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de (t + 1t)^32 (t^2 - 1t^2) dt. O assunto aqui é o cálculo de integrais, e especificamente vamos usar o método da substituição de variáveis. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Observando a expressão (t + 1t)^32, parece complicado, então vamos definir uma nova variável para simplificar isso. Vamos chamar u = t + 1t.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a t para substituir o diferencial dt. Então, derivando u:
du = (1 - 1t^2) dt

Passo 4

Observe que no integrando original temos t^2 - 1t^2. Podemos reescrever isso como 1 - 1t^2, que é exatamente a expressão que encontramos para du. Portanto, temos:
(t + 1t)^32 (1 - 1t^2) dt = u^32 du

Passo 5

Agora, a integral fica muito mais simples:
integral u^32 du
Essa é uma integral básica de potência, onde a antiderivada de u^n é u^n+1n+1 + C, sendo C a constante de integração.

Passo 6

Aplicando a regra da antiderivada:
integral u^32 du = u^5252 + C = 25 u^52 + C

Passo 7

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = t + 1t:
25 (t + 1t)^52 + C

Resposta

A integral vale 25 (t + 1t)^52 + C, onde C é a constante de integração.

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