Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de
. O assunto aqui é o cálculo de integrais, e especificamente vamos usar o método da substituição de variáveis. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Observando a expressão
, parece complicado, então vamos definir uma nova variável para simplificar isso. Vamos chamar
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir o diferencial
. Então, derivando
:
Passo 4
Observe que no integrando original temos
. Podemos reescrever isso como
, que é exatamente a expressão que encontramos para
. Portanto, temos:
Passo 5
Agora, a integral fica muito mais simples:
Essa é uma integral básica de potência, onde a antiderivada de
é
, sendo
a constante de integração.
Passo 6
Aplicando a regra da antiderivada:
Passo 7
Por fim, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
A integral vale
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Considere o campo vetorial
, em que
e
são constantes. Para estes valores de
e
, encontre uma função potencial do campo
.
Considere
um campo vetorial em
e
uma curva parametrizada por
, com
. Marque com
, se for verdadeira a sentença, ou
, se falsa, justificando cada item:
Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular
, onde
é a curva indicada:
; onde
é o quadrado com vértices em
,
e
, percorridos no sentido anti-horário.