Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de . O assunto aqui é o cálculo de integrais, e especificamente vamos usar o método da substituição de variáveis. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Observando a expressão , parece complicado, então vamos definir uma nova variável para simplificar isso. Vamos chamar .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o diferencial . Então, derivando :

Passo 4

Observe que no integrando original temos . Podemos reescrever isso como , que é exatamente a expressão que encontramos para . Portanto, temos:

Passo 5

Agora, a integral fica muito mais simples:
Essa é uma integral básica de potência, onde a antiderivada de é , sendo a constante de integração.

Passo 6

Aplicando a regra da antiderivada:

Passo 7

Por fim, voltamos à variável original substituindo :

Resposta

A integral vale , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Considere o campo vetorial , em que e são constantes. Para estes valores de e , encontre uma função potencial do campo .
Considere um campo vetorial em e uma curva parametrizada por , com . Marque com , se for verdadeira a sentença, ou , se falsa, justificando cada item:
Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular , onde é a curva indicada: ; onde é o quadrado com vértices em , e , percorridos no sentido anti-horário.