integral(4 cosec^2 x cotg x+2 sec ^2 x) d x

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver a integral . Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais de funções trigonométricas. Vamos precisar entender como integrar cada termo separadamente usando substituições e fórmulas básicas de integrais.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Assim, a gente resolve cada integral individualmente e depois soma os resultados.

Passo 3

Primeiro, vamos resolver . Aqui, podemos usar uma substituição. Vamos deixar du = -cosec^2 x , dx Rightarrow -du = cosec^2 x , dx . Então, a derivada de integral 4 cosec^2 x cot x , dx = 4 integral cot x cdot cosec^2 x , dx = 4 integral u cdot (-du) = -4 integral u , du em relação a é:
Agora, substituindo na integral:

Passo 4

Vamos integrar -4 integral u , du = -4 ( u^22 ) + C = -2 u^2 + C :
-2 cot^2 x + C
Lembrando que , então:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral 2 sec^2 x , dx = 2 tan x + C . Sabemos que a integral de é , então:

Passo 6

Juntando as duas partes que resolvemos:
-2 cot^2 x + 2 tan x + C
Como estamos buscando a antiderivada geral, a constante pode ser mantida.

Resposta

-2 cot^2 x + 2 tan x + C

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