(1,5) Considere o campo vetorial F(x, y, z)=(2 x^2 y^2 z) i+(3 x^2 y^2 z) j+(x^2 y^3+y) k. Calcule oint F cdot d r onde gamma é a curva fechada parametrizada por r(t)=sen t i+cos t j+pi k, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a integral de linha onde , e é uma curva fechada parametrizada por para . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . A parametrização descreve um círculo no plano com raio 1. Isso porque e são as componentes e , formando um círculo unitário, e permanece constante em .

Passo 3

Agora, precisamos calcular oint F cdot d r = integral0^2pi F(r(t)) cdot r'(t) , dt . A integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva é dada por:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular r'(t) = ddt [sin t i + cos t j + pi k] = cos t i - sin t j + 0 k . Derivando cada componente de :
Então, .

Passo 5

Agora, substituímos F(r(t)) = F(sin t, cos t, pi) = (2 (sin t)^2 (cos t)^2 pi) i + (3 (sin t)^2 (cos t)^2 pi) j + ((sin t)^2 (cos t)^3 + cos t) k na expressão de :

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t) = [2 (sin t)^2 (cos t)^2 pi] cos t + [3 (sin t)^2 (cos t)^2 pi] (-sin t) + [(sin t)^2 (cos t)^3 + cos t] cdot 0 :
F(r(t)) cdot r'(t) = 2 pi (sin t)^2 (cos t)^3 - 3 pi (sin t)^3 (cos t)^2
Note que a última componente é multiplicada por zero, então podemos ignorá-la.
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos isso de oint F cdot d r = integral0^2pi [2 pi (sin t)^2 (cos t)^3 - 3 pi (sin t)^3 (cos t)^2] dt a oint F cdot d r = pi integral0^2pi [2 (sin t)^2 (cos t)^3 - 3 (sin t)^3 (cos t)^2] dt :
Vamos fatorar :

Passo 8

Para resolver essa integral, vamos usar substituições trigonométricas e reconhecer simetrias. Observamos que as funções envolvidas são periódicas e ímpares em determinados intervalos, o que pode simplificar a integração.
No entanto, após uma análise mais profunda, percebemos que ambas as integrais sobre um período completo de a de funções ímpares serão iguais a zero.

Passo 9

Portanto, a integral de linha resulta em zero.

Resposta

oint F cdot d r = 0

Exercícios relacionados

Encontre d y / d x derivando implicitamente
  • raiz(xy) = 1 + x^2y
  • raiz(x + y) = 1 + x^2 * y^2.
Se f(x) = x / (x^2 + 1), calcule f'(x) e f''(x).
No esboço da função abaixo, repita os estudos do problema anterior, e acrescente a determinação das assíntotas verticais e horizontais:
f(x)=(1+x^2)/(1-x^2)
Considere a curva dada pelo gráfico de y = x / (1 + x^2). Obtenha a equação da reta tangente a essa curva no ponto 2,2 / 5. Obtenha a equação da reta normal passando pelo mesmo ponto.