Considere o campo vetorial
. Calcule
onde
é a curva fechada parametrizada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a integral de linha
onde
, e
é uma curva fechada parametrizada por
para
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. A parametrização
descreve um círculo no plano
com raio 1. Isso porque
e
são as componentes
e
, formando um círculo unitário, e
permanece constante em
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular
. A integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
é dada por:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
. Derivando cada componente de
:
Então,
.
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão de
:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar
:
Note que a última componente é multiplicada por zero, então podemos ignorá-la.
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos isso de
a
:
Vamos fatorar
:
Passo 8
Para resolver essa integral, vamos usar substituições trigonométricas e reconhecer simetrias. Observamos que as funções envolvidas são periódicas e ímpares em determinados intervalos, o que pode simplificar a integração.
No entanto, após uma análise mais profunda, percebemos que ambas as integrais sobre um período completo de
a
de funções ímpares serão iguais a zero.
Passo 9
Portanto, a integral de linha
resulta em zero.
Resposta
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Encontre
derivando implicitamente
-
-
.
Se
, calcule
e
.
No esboço da função abaixo, repita os estudos do problema anterior, e acrescente a determinação das assíntotas verticais e horizontais:
Considere a curva dada pelo gráfico de
. Obtenha a equação da reta tangente a essa curva no ponto
. Obtenha a equação da reta normal passando pelo mesmo ponto.