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derivando implicitamente
-
-
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar
usando derivação implícita para as duas equações dadas. A derivação implícita é usada quando
está misturado com
e não está resolvido explicitamente em termos de
. Vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Primeira Equação:
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o lado esquerdo da equação. A expressão
pode ser escrita como
.
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia quando derivamos termos que envolvem
.
Passo 4
Derivando o lado esquerdo usando a regra da cadeia:
Derivando o lado direito:
Passo 5
Igualando as derivadas:
Passo 6
Agora vamos isolar
. Primeiro, multiplique ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 7
Rearranjando os termos para isolar
:
Passo 8
Fatorando
:
Passo 9
Finalmente, resolvendo para
:
Passo 10
Agora vamos resolver a segunda equação que também pede para encontrar
usando derivação implícita.
Passo 11
Primeiro, vamos reescrever a expressão
como
.
Passo 12
Derivando ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 13
Derivando o lado esquerdo usando a regra da cadeia:
Derivando o lado direito:
Passo 14
Igualando as derivadas:
Passo 15
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 16
Rearranjando os termos para isolar
:
Passo 17
Fatorando
:
Passo 18
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
As derivadas encontradas são:
- Para
:
- Para
:
Exercícios relacionados
Se
, calcule
e
.
Explique porque, fixado
,
No esboço da função abaixo, repita os estudos do problema anterior, e acrescente a determinação das assíntotas verticais e horizontais: