Considere a curva dada pelo gráfico de y = x / (1 + x^2). Obtenha a equação da reta tangente a essa curva no ponto 2,2 / 5. Obtenha a equação da reta normal passando pelo mesmo ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a curva definida por e queremos encontrar duas retas importantes que passam pelo ponto . A primeira é a reta tangente à curva nesse ponto, e a segunda é a reta normal, que é aquela que é perpendicular à reta tangente. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente, e depois aplicar fórmulas de reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A função é . Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então .
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos calcular o valor dessa derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente em mãos, vamos encontrar a equação dessa reta. Usamos a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Onde é a inclinação e é o ponto dado.
Aqui, e . Substituindo:
Simplificando:
Portanto, a equação da reta tangente é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Sabemos que a inclinação da tangente é , então a inclinação da normal será:

Passo 6

Com a inclinação da reta normal e o mesmo ponto , usamos novamente a fórmula da reta ponto-inclinação:
Simplificando:
Convertendo para ter denominador 3:
Somando os termos constantes:
Portanto, a equação da reta normal é:

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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