Considere a curva dada pelo gráfico de
. Obtenha a equação da reta tangente a essa curva no ponto
. Obtenha a equação da reta normal passando pelo mesmo ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a curva definida por
e queremos encontrar duas retas importantes que passam pelo ponto
. A primeira é a reta tangente à curva nesse ponto, e a segunda é a reta normal, que é aquela que é perpendicular à reta tangente. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente, e depois aplicar fórmulas de reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A função é
. Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se
, então
.
Aqui,
e
. Vamos derivar cada parte:
- Derivada de
: - Derivada de
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos calcular o valor dessa derivada no ponto
para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Substituindo
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente em mãos, vamos encontrar a equação dessa reta. Usamos a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Onde
é a inclinação e
é o ponto dado.
Aqui,
e
. Substituindo:
Simplificando:
Portanto, a equação da reta tangente é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Sabemos que a inclinação da tangente é
, então a inclinação da normal será:
Passo 6
Com a inclinação da reta normal
e o mesmo ponto
, usamos novamente a fórmula da reta ponto-inclinação:
Simplificando:
Convertendo
para ter denominador 3:
Somando os termos constantes:
Portanto, a equação da reta normal é:
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.
Exercícios relacionados
No esboço da função abaixo, repita os estudos do problema anterior, e acrescente a determinação das assíntotas verticais e horizontais:
Use derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à respectiva curva no ponto dado:
-
-
.
Qual ponto da parábola
está mais próximo de
?