Se f(x) = x / (x^2 + 1), calcule f'(x) e f''(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa encontrar a primeira e a segunda derivada da função . Isso envolve entender o que são derivadas e como aplicá-las usando as regras certas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada . Para isso, vamos usar a Regra do Quociente, que é usada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções.
A Regra do Quociente diz que se , então:
No nosso caso, e . Vamos calcular e :
Agora, aplicando a Regra do Quociente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Isso significa que precisamos derivar novamente a primeira derivada .
Vamos denotar e . Agora, usamos a Regra do Quociente novamente para derivar :
Calculamos e :
Para , usamos a Regra da Cadeia:
Agora, substituímos na fórmula da segunda derivada:
Vamos simplificar o numerador:
Factorando :
Portanto, a segunda derivada fica:

Resposta

A primeira derivada da função é:
E a segunda derivada é:

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