Considere o campo vetorial F(x, y, z)=(z^2, x z, 2 x y) e o campo escalar f(x, y)=raizx^2+y^2+ 1x. Determine: nabla f.

Passo 1

Então, a gente tem um campo vetorial e um campo escalar . A pergunta é para determinar o gradiente de , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da matéria de cálculo vetorial, que envolve calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função escalar nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) em duas dimensões é dado por:
No nosso caso, como depende apenas de e , o gradiente terá essas duas componentes.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = raizx^2 + y^2 + 1x em relação a partialpartial x raizx^2 + y^2 = xraizx^2 + y^2 . A função é:
partialpartial x ( 1x ) = -1x^2
A derivada de partial fpartial x = xraizx^2 + y^2 - 1x^2 em relação a é:
E a derivada de em relação a é:
Então, juntando as duas partes:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partialpartial y raizx^2 + y^2 = yraizx^2 + y^2 em relação a partialpartial y ( 1x ) = 0 . Apenas a primeira parte da função depende de partial fpartial y = yraizx^2 + y^2 :
A segunda parte, , não depende de , então sua derivada em relação a é zero:
Portanto:

Resposta

O gradiente de nabla f = ( xraizx^2 + y^2 - 1x^2, yraizx^2 + y^2 ) é:

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