Considere o campo vetorial
e o campo escalar
. Determine:
.
Passo 1
Então, a gente tem um campo vetorial
e um campo escalar
. A pergunta é para determinar o gradiente de
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da matéria de cálculo vetorial, que envolve calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função escalar
em duas dimensões é dado por:
No nosso caso, como
depende apenas de
e
, o gradiente terá essas duas componentes.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. A função é:
A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Então, juntando as duas partes:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Apenas a primeira parte da função depende de
:
A segunda parte,
, não depende de
, então sua derivada em relação a
é zero:
Portanto:
Resposta
O gradiente de
é: