Seja C a curva (plana) de equação y=ln x. Encontre o ponto de C onde a curvatura é máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o ponto na curva com a equação onde a curvatura é máxima. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de derivadas e curvatura de curvas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de , usar a fórmula da curvatura e depois encontrar onde essa curvatura atinge o valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a curvatura kappa = |y''|(1 + (y')^2)^3/2 de uma curva plana dada por é calculada pela fórmula:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a e é a segunda derivada.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada y' = ddx (ln x) = 1x da função :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada y'' = ddx (1x) = -1x^2 :

Passo 5

Substituindo kappa = | -1x^2 |(1 + (1x)^2)^3/2 = 1x^2(1 + 1x^2)^3/2 e na fórmula da curvatura:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão para facilitar encontrar o máximo. Multiplicando numerador e denominador por kappa = 1x^2 div (x^2 + 1x^2)^3/2 = 1x^2 times (x^2x^2 + 1)^3/2 = x^3(x^2 + 1)^3/2 :

Passo 7

Agora, queremos encontrar o valor de kappa = x(x^2 + 1)^3/2 que maximiza dkappadx = (x^2 + 1)^3/2 - x times 32(x^2 + 1)^1/2 times 2x(x^2 + 1)^3 = (x^2 + 1) - 3x^2(x^2 + 1)^5/2 = 1 - 2x^2(x^2 + 1)^5/2 . Para isso, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Calculando a derivada :

Passo 8

Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
1 - 2x^2 = 0 implies 2x^2 = 1 implies x^2 = 12 implies x = 1raiz2

Passo 9

Agora, verificamos se esse ponto realmente corresponde a um máximo. Como a função da curvatura tende a zero quando tende ao infinito e também quando se aproxima de zero, esse ponto é de fato onde a curvatura é máxima.

Resposta

O ponto na curva onde a curvatura é máxima ocorre em , ou aproximadamente .

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