Seja a curva (plana) de equação . Encontre o ponto de onde a curvatura é máxima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o ponto na curva com a equação onde a curvatura é máxima. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de derivadas e curvatura de curvas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de , usar a fórmula da curvatura e depois encontrar onde essa curvatura atinge o valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a curvatura de uma curva plana dada por é calculada pela fórmula:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a e é a segunda derivada.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada da função :
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada :
Passo 5
Substituindo e na fórmula da curvatura:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão para facilitar encontrar o máximo. Multiplicando numerador e denominador por kappa = 1x^2 div (x^2 + 1x^2)^3/2 = 1x^2 times (x^2x^2 + 1)^3/2 = x^3(x^2 + 1)^3/2 :
Passo 7
Agora, queremos encontrar o valor de kappa = x(x^2 + 1)^3/2 que maximiza dkappadx = (x^2 + 1)^3/2 - x times 32(x^2 + 1)^1/2 times 2x(x^2 + 1)^3 = (x^2 + 1) - 3x^2(x^2 + 1)^5/2 = 1 - 2x^2(x^2 + 1)^5/2 . Para isso, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Calculando a derivada :
Passo 8
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Agora, verificamos se esse ponto realmente corresponde a um máximo. Como a função da curvatura tende a zero quando tende ao infinito e também quando se aproxima de zero, esse ponto é de fato onde a curvatura é máxima.
Resposta
O ponto na curva onde a curvatura é máxima ocorre em , ou aproximadamente .