Considere um campo vetorial em e uma curva parametrizada por , com . Marque com , se for verdadeira a sentença, ou , se falsa, justificando cada item:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um campo vetorial no plano e uma curva parametrizada por para . A gente precisa calcular a integral de linha e verificar se ela é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o trabalho realizado pelo campo vetorial ao longo da curva . Para calcular isso, precisamos parametrizar a curva e expressar a integral em termos do parâmetro .

Passo 3

Vamos parametrizar a curva usando . Isso significa que e . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é .

Passo 4

Agora, substituímos e no campo vetorial :

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto escalar :
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Assim, a integral completa fica:

Passo 7

Agora, avaliamos de a :
Calculando:

Resposta

Verdadeiro, a integral é igual a .

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