Considere F(x, y)=(-2 x+3 y, 4 x y) um campo vetorial em R^2 e Cl uma curva parametrizada por r1(t)=(t^2, t^3), com 0 <= t <= 1. Marque com V, se for verdadeira a sentença, ou F, se falsa, justificando cada item:
integralC1 F cdot d r1=1710

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um campo vetorial no plano e uma curva parametrizada por para . A gente precisa calcular a integral de linha e verificar se ela é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o trabalho realizado pelo campo vetorial ao longo da curva . Para calcular isso, precisamos parametrizar a curva e expressar a integral em termos do parâmetro .

Passo 3

Vamos parametrizar a curva usando . Isso significa que e . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é .

Passo 4

Agora, substituímos F(r1(t)) = F(t^2, t^3) = (-2t^2 + 3t^3, 4t^2 cdot t^3) = (-2t^2 + 3t^3, 4t^5) e no campo vetorial :

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto escalar (-2t^2 + 3t^3) cdot 2t + (4t^5) cdot 3t^2 = -4t^3 + 6t^4 + 12t^7 :
integral0^1 (-4t^3 + 6t^4 + 12t^7) , dt
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral (-4t^3) , dt = -4 cdot t^44 = -t^4
integral 6t^4 , dt = 6 cdot t^55 = 65t^5
integral 12t^7 , dt = 12 cdot t^88 = 128t^8 = 32t^8
Assim, a integral completa fica:
-t^4 + 65t^5 + 32t^8 |0^1

Passo 7

Agora, avaliamos de -1^4 + 65 cdot 1^5 + 32 cdot 1^8 = -1 + 65 + 32 a -1 + 1.2 + 1.5 = 1.7 = 1710 :
Calculando:

Resposta

Verdadeiro, a integral é igual a .

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