Determine se as séries a seguir são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty(-1)^n nn+2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty(-1)^n nn+2
Nosso objetivo é determinar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e teste da série alternada.

Passo 2

Vamos começar verificando se a série é absolutamente convergente. Isso significa que devemos analisar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n nn+2 | = sumn=1^infty nn+2

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão da série dos valores absolutos:
nn+2 = nn(1 + 2n) = 11 + 2n
À medida que 11 + 2n approx 1 cresce, tende a zero, então:
Isso significa que cada termo da série está se aproximando de 1 quando fica muito grande.

Passo 4

Se os termos de uma série não tendem a zero, a série não converge. Neste caso, como sumn=1^infty nn+2 tende a 1, que não é zero, a série dos valores absolutos:
não converge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada. A série dada é alternada porque o termo sumn=1^infty (-1)^n an alterna o sinal dos termos.
O teste diz que a série alternada:
converge se:
  1. é uma sequência decrescente.
  2. .
No nosso caso, . Vamos verificar as condições.

Passo 6

Primeiro, verificamos o limite:
limn to infty nn+2 = limn to infty 11 + 2n = 1
Como o limite não é zero, o Teste da Série Alternada não é satisfatório, e a série não converge condicionalmente.

Resposta

Portanto, a série
sumn=1^infty(-1)^n nn+2
é divergente.

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