Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular integralC F d r, onde C é a curva indicada: F(x, y)=(3 x^2 y+x y^2-1) i+(x^3+x^2 y+4 y^3) j; onde C é o quadrado com vértices em (0,0), (1,0),(1,1) e (0,1), percorridos no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o campo vetorial dado é conservativo, encontrar uma função potencial para ele e, usando essa função, calcular a integral de linha ao longo de uma curva específica. Para isso, vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial como campos conservativos, funções potenciais e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial partial Fypartial x = partial Fxpartial y é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se sua rotacional for zero, ou seja, se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de Fy = x^3 + x^2y + 4y^3 em relação a partial Fypartial x = 3x^2 + 2xy :
Fx = 3x^2y + xy^2 - 1
partial Fxpartial y = 3x^2 + 2xy
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Comparando as duas derivadas:
partial Fypartial x = 3x^2 + 2xy
partial Fxpartial y = 3x^2 + 2xy
Como , o rotacional de é zero. Portanto, o campo vetorial é conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que F = nabla phi = ( partial phipartial x ) i + ( partial phipartial y ) j é conservativo, podemos encontrar uma função potencial partial phipartial x = 3x^2y + xy^2 - 1 tal que:
partial phipartial y = x^3 + x^2y + 4y^3
Isso significa que:
Vamos integrar em relação a para encontrar .

Passo 6

Integrando phi(x, y) = integral (3x^2y + xy^2 - 1) , dx = x^3y + 12x^2y^2 - x + g(y) em relação a :
Aqui, é uma função qualquer de que aparece pela integração.

Passo 7

Agora, derivamos partial phipartial y = x^3 + x^2y + g'(y) = x^3 + x^2y + 4y^3 em relação a g'(y) = 4y^3 e igualamos a g(y) = integral 4y^3 , dy = y^4 + C dada:
phi(x, y) = x^3y + 12x^2y^2 - x + y^4
Comparando os termos:
Integrando em relação a :
Podemos ignorar a constante na função potencial, então:

Passo 8

Agora que temos a função potencial integralC F cdot dr = phi(ponto final) - phi(ponto inicial) , podemos usar o Teorema Fundamental para Integrais de Linha, que diz que para um campo conservativo:
integralC F cdot dr = phi(ponto final) - phi(ponto inicial) = 0
Como a curva é um caminho fechado (começa e termina no mesmo ponto), temos:

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a 0.

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