Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular
, onde
é a curva indicada:
; onde
é o quadrado com vértices em
,
e
, percorridos no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o campo vetorial dado é conservativo, encontrar uma função potencial para ele e, usando essa função, calcular a integral de linha ao longo de uma curva específica. Para isso, vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial como campos conservativos, funções potenciais e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se sua rotacional for zero, ou seja, se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Comparando as duas derivadas:
Como
, o rotacional de
é zero. Portanto, o campo vetorial
é conservativo.
Passo 5
Agora que sabemos que
é conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função qualquer de
que aparece pela integração.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
dada:
Comparando os termos:
Integrando
em relação a
:
Podemos ignorar a constante
na função potencial, então:
Passo 8
Agora que temos a função potencial
, podemos usar o Teorema Fundamental para Integrais de Linha, que diz que para um campo conservativo:
Como a curva
é um caminho fechado (começa e termina no mesmo ponto), temos:
Resposta
A integral de linha
ao longo da curva
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Considere
um campo vetorial em
e
uma curva parametrizada por
, com
. Marque com
, se for verdadeira a sentença, ou
, se falsa, justificando cada item:
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Determine se as séries a seguir são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
, onde
é o quadrilátero percorrido do
ao
ao
ao
.