Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular , onde é a curva indicada: ; onde é o quadrado com vértices em , e , percorridos no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o campo vetorial dado é conservativo, encontrar uma função potencial para ele e, usando essa função, calcular a integral de linha ao longo de uma curva específica. Para isso, vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial como campos conservativos, funções potenciais e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se sua rotacional for zero, ou seja, se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Comparando as duas derivadas:
Como , o rotacional de é zero. Portanto, o campo vetorial é conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que é conservativo, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar em relação a para encontrar .

Passo 6

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função qualquer de que aparece pela integração.

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a dada:
Comparando os termos:
Integrando em relação a :
Podemos ignorar a constante na função potencial, então:

Passo 8

Agora que temos a função potencial , podemos usar o Teorema Fundamental para Integrais de Linha, que diz que para um campo conservativo:
Como a curva é um caminho fechado (começa e termina no mesmo ponto), temos:

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a 0.

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