Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada: , onde é o quadrilátero percorrido do ao ao ao .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é ao longo de um caminho que forma um quadrilátero passando pelos pontos , , e . A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pelo caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que:
Aqui, e . A região é o interior do nosso quadrilátero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região . Observando os pontos do quadrilátero:
  • De a : linha vertical onde e varia de a .
  • De a : uma linha inclinada. A equação dessa linha é .
  • De a : linha vertical onde e varia de a .
  • De a : linha horizontal onde .
Portanto, para variando de a , varia de até a linha .

Passo 5

Vamos montar a integral dupla:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos na integral externa:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Avaliando de a :
Multiplicando pelo fator externo:

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a .

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