Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
, onde
é o quadrilátero percorrido do
ao
ao
ao
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é ao longo de um caminho que forma um quadrilátero passando pelos pontos
,
,
e
. A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pelo caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que:
Aqui,
e . A região
é o interior do nosso quadrilátero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região
. Observando os pontos do quadrilátero:
- De
a : linha vertical onde e varia de a . - De
a : uma linha inclinada. A equação dessa linha é . - De
a : linha vertical onde e varia de a . - De
a : linha horizontal onde .
Portanto, para
variando de
a
,
varia de
até a linha
.
Passo 5
Vamos montar a integral dupla:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos na integral externa:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Avaliando de
a
:
Multiplicando pelo fator externo:
Resposta
A integral de linha ao longo da curva
é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine se as séries a seguir são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular
, onde
é a curva indicada:
; onde
é o quadrado com vértices em
,
e
, percorridos no sentido anti-horário.
Considere
um campo vetorial em
e
uma curva parametrizada por
, com
. Marque com
, se for verdadeira a sentença, ou
, se falsa, justificando cada item:
Seja uma curva de equação
, então
Seja
Sejam
uma função escalar e
um campo vetorial, ambos de classe
. Responda
, caso a operação seja válida, ou
, caso não seja: