Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada: ointC(e^x^4+y^2) d x+(x y+sen(ln y)) d y, onde C é o quadrilátero percorrido do (1,1) ao (1,2) ao (2,3) ao (2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é ao longo de um caminho que forma um quadrilátero passando pelos pontos (1,1), (1,2), (2,3) e (2,1). A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pelo caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, P = e^x^4 + y^2 e . A região Q = x y + sen(ln y) é o interior do nosso quadrilátero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(x y + sen(ln y)) = y
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Ppartial y = partialpartial y(e^x^4 + y^2) = 2y

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região D. Observando os pontos do quadrilátero:
  • De (1,1) a (1,2): linha vertical onde x = 1 e y varia de 1 a 2.
  • De (1,2) a (2,3): uma linha inclinada. A equação dessa linha é y = x + 1.
  • De (2,3) a (2,1): linha vertical onde x = 2 e y varia de 3 a 1.
  • De (2,1) a (1,1): linha horizontal onde y = 1.
Portanto, para x variando de 1 a 2, y varia de 1 até a linha y = x + 1.

Passo 5

Vamos montar a integral dupla:
integral duplaD (-y) , dA = -integralx=1^2 integraly=1^x+1 y , dy , dx
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a y:
integral1^x+1 y , dy = [ y^22 ]1^x+1 = (x+1)^22 - 12

Passo 6

Agora, substituímos na integral externa:
-integral1^2 ( (x+1)^22 - 12 ) dx = -12 integral1^2 ( (x+1)^2 - 1 ) dx
Simplificando a expressão dentro da integral:
(x+1)^2 - 1 = x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 + 2x
Então, a integral fica:
-12 integral1^2 (x^2 + 2x) , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral (x^2 + 2x) , dx = x^33 + x^2 + C
Avaliando de 1 a 2:
[ 2^33 + 2^2 ] - [ 1^33 + 1^2 ] = ( 83 + 4 ) - ( 13 + 1 ) = 203 - 43 = 163
Multiplicando pelo fator externo:
-12 times 163 = -83

Resposta

A integral de linha ao longo da curva C é igual a -dfrac83.

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