Considere o campo vetorial
G=(2 x+z) cos (x^2+x z) i+(x-(z+1) sin (y+y z)) j+(x cos (x^2+x z)-y sin (y+y z)) k
a) Qual a diferença entre G e o campo F do exercício anterior? G é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a parada aqui! A gente tem um campo vetorial bem massa, e a gente precisa descobrir qual a diferença entre esse campo e outro campo que foi do exercício anterior. Além disso, foi dito que é conservativo. Então, pra resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como isso diferencia a da .

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial G = nabla phi é chamado de conservativo se existe uma função escalar tal que é o gradiente dessa função. Em termos matemáticos, isso é escrito como:
Isso significa que o campo pode ser “derivado” de uma função potencial . Uma das propriedades importantes de campos conservativos é que o trabalho realizado para mover uma partícula de um ponto a outro nesse campo é independente do caminho escolhido.

Passo 3

Agora, vamos comparar isso com o campo F = nabla phi do exercício anterior. Embora não tenhamos os detalhes de , a questão sugere que não é conservativo. Isso implica que não pode ser representado como o gradiente de nenhuma função potencial, ou seja, não existe uma função tal que:
Além disso, para campos não conservativos, o trabalho realizado depende do caminho percorrido entre dois pontos.

Passo 4

Outra diferença importante é que em campos conservativos, a circulação ao longo de qualquer caminho fechado é zero. Isso significa que se você percorrer um percurso que começa e termina no mesmo ponto, o trabalho total realizado pelo campo oint G cdot dr = 0 será nulo. Matematicamente, isso é expresso por:
Já para o campo , que não é conservativo, essa circulação pode ser diferente de zero.

Resposta

Então, resumindo, a principal diferença entre e o campo do exercício anterior é que é um campo conservativo, ou seja, pode ser derivado do gradiente de uma função potencial e possui propriedades como trabalho independente do caminho e circulação nula em trajetos fechados. Já o campo não possui essas características, sendo, portanto, não conservativo.

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