Usando o Teorema de existência e unicidade, resolva o PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial:
Vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade para garantir que existe uma única solução para esse problema. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as condições do teorema e depois aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, o Teorema de Existência e Unicidade (também conhecido como Teorema de Picard-Lindelöf) diz que se tivermos uma função que é contínua em uma região ao redor do ponto inicial e que satisfaz uma condição de Lipschitz em relação a , então existe uma única solução para o problema de valor inicial .
No nosso caso, . Vamos verificar se essa função atende às condições do teorema.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se é contínua. Como é um polinômio em e , não tem nenhum ponto de descontinuidade. Então, está tudo certo nesse aspecto.

Passo 4

Agora, precisamos verificar a condição de Lipschitz em relação a . Isso significa que a derivada parcial de em relação a deve ser limitada numa região próxima ao ponto inicial.
Calculando a derivada parcial:
Essa derivada é contínua em toda parte, então a condição de Lipschitz é satisfeita nessa região.

Passo 5

Como é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em relação a , o Teorema de Existência e Unicidade garante que existe uma única solução para o problema de valor inicial dado.

Passo 6

Vamos agora resolver a equação diferencial:
Podemos tentar resolver separando as variáveis ou buscando uma solução mais simples. Observe que se , então:
Isso significa que é uma solução constante da equação diferencial.

Passo 7

Agora, vamos verificar se essa solução satisfaz a condição inicial :
Sim, a solução atende exatamente à condição inicial.

Resposta

A solução única do problema de valor inicial é:

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Valor (2,0 pontos) Verifique que o conjunto
é uma base de e determine as coordenadas de na
base .
Considere o campo vetorial
a) Qual a diferença entre e o campo do exercício anterior? é conservativo.
Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para .
e)
Calcule ao longo da curva .