Usando o Teorema de existência e unicidade, resolva o PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial:
Vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade para garantir que existe uma única solução para esse problema. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as condições do teorema e depois aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, o Teorema de Existência e Unicidade (também conhecido como Teorema de Picard-Lindelöf) diz que se tivermos uma função
que é contínua em uma região ao redor do ponto inicial
e que satisfaz uma condição de Lipschitz em relação a
, então existe uma única solução para o problema de valor inicial
.
No nosso caso,
. Vamos verificar se essa função atende às condições do teorema.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se
é contínua. Como é um polinômio em
e
, não tem nenhum ponto de descontinuidade. Então, está tudo certo nesse aspecto.
Passo 4
Agora, precisamos verificar a condição de Lipschitz em relação a
. Isso significa que a derivada parcial de
em relação a
deve ser limitada numa região próxima ao ponto inicial.
Calculando a derivada parcial:
Essa derivada é contínua em toda parte, então a condição de Lipschitz é satisfeita nessa região.
Passo 5
Como
é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em relação a
, o Teorema de Existência e Unicidade garante que existe uma única solução para o problema de valor inicial dado.
Passo 6
Vamos agora resolver a equação diferencial:
Podemos tentar resolver separando as variáveis ou buscando uma solução mais simples. Observe que se
, então:
Isso significa que
é uma solução constante da equação diferencial.
Passo 7
Agora, vamos verificar se essa solução satisfaz a condição inicial
:
Sim, a solução
atende exatamente à condição inicial.
Resposta
A solução única do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Valor (2,0 pontos) Verifique que o conjunto
é uma base de
e determine as coordenadas de
na
base .
base
Considere o campo vetorial
a) Qual a diferença entre
e o campo
do exercício anterior?
é conservativo.
Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para
.
e)
e)
Calcule
ao longo da curva
.