Considere os seguintes subespaços de :
Ache uma base de ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para encontrarmos uma base para a interseção dos subespaços e em . Isso significa que queremos descobrir quais vetores estão ao mesmo tempo em e em . Para isso, vamos precisar entender o que define cada subespaço e como encontrar vetores que satisfazem ambas as condições.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que são e :
  • : Isso significa que, em , o valor de sempre é igual ao de . Então, podemos reescrever qualquer vetor em como .
  • : Aqui, em , o valor de sempre é igual ao de . Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como .

Passo 3

Queremos encontrar os vetores que estão em ambos os subespaços, ou seja, que satisfazem as duas condições simultaneamente:
  1. (de )
  2. (de )
Vamos resolver essas equações juntas para encontrar os vetores que pertencem à interseção .

Passo 4

Começando com as duas equações:
  1. (a partir de )
  2. (a partir de )
Como e , isso implica que . Portanto, todos os componentes , e são iguais. Podemos representar os vetores na interseção como:
Onde é um número real.

Passo 5

Isso significa que todos os vetores na interseção são múltiplos do vetor . Portanto, a interseção é uma reta que passa pela origem na direção de .
Uma base para esse subespaço é um conjunto de vetores que geram todo o subespaço e são linearmente independentes. Como temos apenas um vetor que gera todos os outros por multiplicação por escalares, esse vetor sozinho forma uma base.

Resposta

Uma base para é .

Exercícios relacionados

Considere os seguintes subespaços de :
Encontre subespaço do tal que
Considere o campo vetorial
a) Qual a diferença entre e o campo do exercício anterior? é conservativo.
Valor (2,0 pontos) Verifique que o conjunto
é uma base de e determine as coordenadas de na
base .