Considere os seguintes subespaços de
:
Ache uma base de
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para encontrarmos uma base para a interseção dos subespaços
e
em
. Isso significa que queremos descobrir quais vetores estão ao mesmo tempo em
e em
. Para isso, vamos precisar entender o que define cada subespaço e como encontrar vetores que satisfazem ambas as condições.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no que são
e
:
-
: Isso significa que, em , o valor de sempre é igual ao de . Então, podemos reescrever qualquer vetor em como . -
: Aqui, em , o valor de sempre é igual ao de . Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como .
Passo 3
Queremos encontrar os vetores que estão em ambos os subespaços, ou seja, que satisfazem as duas condições simultaneamente:
-
(de ) -
(de )
Vamos resolver essas equações juntas para encontrar os vetores que pertencem à interseção
.
Passo 4
Começando com as duas equações:
-
(a partir de ) -
(a partir de )
Como
e
, isso implica que
. Portanto, todos os componentes
,
e
são iguais. Podemos representar os vetores na interseção como:
Onde
é um número real.
Passo 5
Isso significa que todos os vetores na interseção
são múltiplos do vetor
. Portanto, a interseção é uma reta que passa pela origem na direção de
.
Uma base para esse subespaço é um conjunto de vetores que geram todo o subespaço e são linearmente independentes. Como temos apenas um vetor que gera todos os outros por multiplicação por escalares, esse vetor sozinho forma uma base.
Resposta
Uma base para
é
.
Exercícios relacionados
Considere os seguintes subespaços de
:
Encontre
subespaço do
tal que
Considere o campo vetorial
a) Qual a diferença entre
e o campo
do exercício anterior?
é conservativo.
Valor (2,0 pontos) Verifique que o conjunto
é uma base de
e determine as coordenadas de
na
base .
base