é uma base de e determine as coordenadas de na
base .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um conjunto de quatro matrizes e queremos verificar se esse conjunto forma uma base para o espaço , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Além disso, se for uma base, precisamos encontrar as coordenadas da matriz nessa base. Para isso, vamos precisar entender conceitos de bases, independência linear e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para ser uma base de , dois critérios precisam ser atendidos:
Linearmente Independente: Nenhuma matriz de pode ser escrita como combinação linear das outras.
Gerador de : Qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes de .
Como tem dimensão 4 (já que cada matriz tem 4 entradas independentes), e tem 4 matrizes, basta mostrar que é linearmente independente para concluir que é uma base.
Passo 3
Vamos verificar a independência linear de . Suponha que exista uma combinação linear das matrizes de que resulte na matriz nula:
Isso resulta no sistema de equações:
Da primeira e quarta equações, temos e . Substituindo na terceira equação, obtemos . Então, da segunda equação, . Portanto, a única solução possível é , o que mostra que é linearmente independente.
Passo 4
Como é composto por 4 matrizes linearmente independentes e o espaço também tem dimensão 4, concluímos que é uma base para .
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas da matriz na base . Isso significa que queremos encontrar escalares tais que: