Valor (2,0 pontos) Verifique que o conjunto
B=(cc 1 & 0 -1 & 0 ),(ll 0 & 1 1 & 0 ),(ll 0 & 1 0 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 )
é uma base de V=M2 times 2(R) e determine as coordenadas de A=(cc2 & 1 -1 & 0) na
base B.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um conjunto de quatro matrizes 2 & 1 -1 & 0 e queremos verificar se esse conjunto forma uma base para o espaço , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Além disso, se for uma base, precisamos encontrar as coordenadas da matriz nessa base. Para isso, vamos precisar entender conceitos de bases, independência linear e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para ser uma base de , dois critérios precisam ser atendidos:
  1. Linearmente Independente: Nenhuma matriz de pode ser escrita como combinação linear das outras.
  2. Gerador de : Qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes de .
Como tem dimensão 4 (já que cada matriz tem 4 entradas independentes), e tem 4 matrizes, basta mostrar que é linearmente independente para concluir que é uma base.

Passo 3

Vamos verificar a independência linear de c1 1 & 0 -1 & 0 + c2 0 & 1 1 & 0 + c3 0 & 1 0 & 0 + c4 0 & 0 0 & 1 = 0 & 0 0 & 0 . Suponha que exista uma combinação linear das matrizes de c1 = 0 c2 + c3 = 0 - c1 + c2 = 0 c4 = 0 que resulte na matriz nula:
Isso resulta no sistema de equações:
Da primeira e quarta equações, temos e . Substituindo na terceira equação, obtemos . Então, da segunda equação, . Portanto, a única solução possível é , o que mostra que é linearmente independente.

Passo 4

Como é composto por 4 matrizes linearmente independentes e o espaço também tem dimensão 4, concluímos que é uma base para .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas da matriz 2 & 1 -1 & 0 na base A = x1 1 & 0 -1 & 0 + x2 0 & 1 1 & 0 + x3 0 & 1 0 & 0 + x4 0 & 0 0 & 1 . Isso significa que queremos encontrar escalares x1 = 2 (posição (1,1)) x2 + x3 = 1 (posição (1,2)) - x1 + x2 = -1 (posição (2,1)) x4 = 0 (posição (2,2)) tais que:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
çãçãçãçã

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação, -2 + x2 = -1 Rightarrow x2 = 1 .
  2. Da quarta equação, 1 + x3 = 1 Rightarrow x3 = 0 .
  3. Substituindo na terceira equação:
  1. Substituindo na segunda equação:

Resposta

As coordenadas da matriz 2 & 1 -1 & 0 na base são .

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