Considere os seguintes subespaços de
:
Encontre
subespaço do
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de álgebra linear que envolve subespaços de
. O enunciado nos dá dois subespaços,
e
, definidos por certas condições nas coordenadas
. Nosso objetivo é encontrar um terceiro subespaço,
, que junto com
forme todo o espaço
sem sobreposição. Para isso, vamos precisar entender conceitos como subespaços, dimensão e soma direta de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que são os subespaços
e
.
O subespaço
é definido por:
Isso significa que, em
, a coordenada
é igual à coordenada
. Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais quaisquer.
Passo 3
Agora, vamos determinar a dimensão de
. Como
e
podem variar livremente, temos dois parâmetros independentes. Portanto,
é um subespaço 2-dimensional de
.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar um subespaço
tal que a soma direta
. Para isso,
precisa satisfazer duas condições:
- Interseção apenas no zero:
. - Soma que gera todo o espaço: Toda combinação linear dos vetores de
e deve dar qualquer vetor em .
Como
tem dimensão 2, o subespaço
precisa ter dimensão 1 (porque
).
Passo 5
Vamos escolher um vetor que não esteja em
para gerar
. Se escolhermos um vetor que não satisfaz a condição
, garantimos que
e
se intersectem apenas no vetor zero.
Por exemplo, vamos considerar o vetor
. Vamos verificar se ele está em
:
Como não satisfaz a condição de
, ele não está em
.
Passo 6
Agora, definimos
como o conjunto de todos os múltiplos escalares de
:
Isso significa que
é um subespaço 1-dimensional de
.
Resposta
O subespaço
é dado por todos os múltiplos do vetor
, ou seja:
Exercícios relacionados
Encontre todas as funções
tais que o campo vetorial
é conservativo.
Considere os seguintes subespaços de
:
Ache uma base de
;
Considere o campo vetorial
a) Qual a diferença entre
e o campo
do exercício anterior?
é conservativo.