Considere os seguintes subespaços de :
Encontre subespaço do tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de álgebra linear que envolve subespaços de . O enunciado nos dá dois subespaços, e , definidos por certas condições nas coordenadas . Nosso objetivo é encontrar um terceiro subespaço, , que junto com forme todo o espaço sem sobreposição. Para isso, vamos precisar entender conceitos como subespaços, dimensão e soma direta de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que são os subespaços e .
O subespaço é definido por:
Isso significa que, em , a coordenada é igual à coordenada . Então, qualquer vetor em pode ser escrito como , onde e são números reais quaisquer.

Passo 3

Agora, vamos determinar a dimensão de . Como e podem variar livremente, temos dois parâmetros independentes. Portanto, é um subespaço 2-dimensional de .

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar um subespaço tal que a soma direta . Para isso, precisa satisfazer duas condições:
  1. Interseção apenas no zero: .
  2. Soma que gera todo o espaço: Toda combinação linear dos vetores de e deve dar qualquer vetor em .
Como tem dimensão 2, o subespaço precisa ter dimensão 1 (porque ).

Passo 5

Vamos escolher um vetor que não esteja em para gerar . Se escolhermos um vetor que não satisfaz a condição , garantimos que e se intersectem apenas no vetor zero.
Por exemplo, vamos considerar o vetor . Vamos verificar se ele está em :
Como não satisfaz a condição de , ele não está em .

Passo 6

Agora, definimos como o conjunto de todos os múltiplos escalares de :
Isso significa que é um subespaço 1-dimensional de .

Resposta

O subespaço é dado por todos os múltiplos do vetor , ou seja:

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é conservativo.
Considere os seguintes subespaços de :
Ache uma base de ;
Considere o campo vetorial
a) Qual a diferença entre e o campo do exercício anterior? é conservativo.