Considere o campo vetorial definido em . Para cada uma das superfícies dadas abaixo, calcule usando o teorema de Stokes a integral de superfície
sendo a normal apontando para cima
a) .
b) , .
c) uma superfície arbitrária com bordo descrito por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que envolve o Teorema de Stokes! A gente tem um campo vetorial definido em e precisamos calcular a integral de superfície da rotacional de sobre algumas superfícies diferentes. Vamos focar na parte a):
a) , com no domínio .
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos usando o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da borda da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a rotacional de , ou seja, . A rotacional é dada por:
No nosso caso, rot F = (1 - 0) i - (1 - 0) j + (0 - 1) k = i - j - k , então:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos identificar a borda da superfície alpha(t) = cos(t) i + sin(t) j + (2 - cos^2(t) - sin^2(t)) k, t in [0, 2pi] . Como alpha(t) = cos(t) i + sin(t) j + (2 - 1) k = cos(t) i + sin(t) j + k está definida para , a borda é o círculo , que pode ser parametrizado por:
Como , isso simplifica para:
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes, a integral de superfície da rotacional de integral duplasigma rot F cdot eta , dS = ointalpha F cdot dr pode ser convertida em uma integral de linha de ao longo da borda :
Então, precisamos calcular ao longo de e a diferencial .
Passo 5
Primeiro, vamos expressar F(alpha(t)) = y i + (x + y) k = sin(t) i + (cos(t) + sin(t)) k ao longo de dr = dalphadt dt = (-sin(t) i + cos(t) j + 0 k) dt :
Agora, calculamos :
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr = ( sin(t) i + (cos(t) + sin(t)) k ) cdot ( -sin(t) i + cos(t) j ) dt :
F cdot dr = sin(t) cdot (-sin(t)) + (cos(t) + sin(t)) cdot 0 = -sin^2(t) , dt
Como ointalpha F cdot dr = integral0^2pi -sin^2(t) , dt , , etc.: