Considere o campo vetorial F(x, y, z)=y i+(x+y) k definido em R^3. Para cada uma das superfícies dadas abaixo, calcule usando o teorema de Stokes a integral de superfície
integral duplasigma rot F cdot eta d S
sendo eta a normal apontando para cima
a) sigma(u, v)=u i+v j+(2-u^2-v^2) k, com(u, v) in K: u^2+v^2 <= 1.
b) sigma(u, v)=u i+v j+raizu^2+v^2 k, com(u, v) in K: u^2+v^2 <= 1.
c) sigma uma superfície arbitrária com bordo descrito por alpha(t)=(cos (t), sen(t), 1), t in[0,2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve o Teorema de Stokes! A gente tem um campo vetorial definido em e precisamos calcular a integral de superfície da rotacional de sobre algumas superfícies diferentes. Vamos focar na parte a):
a) , com no domínio .
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos usando o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial com a integral de linha do campo ao longo da borda da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a rotacional de rot F = nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z Fx & Fy & Fz , ou seja, rot F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y & 0 & x + y . A rotacional é dada por:
rot F = ( partialpartial y(x + y) - partialpartial z(0) ) i - ( partialpartial x(x + y) - partialpartial z(y) ) j + ( partialpartial x(0) - partialpartial y(y) ) k
No nosso caso, rot F = (1 - 0) i - (1 - 0) j + (0 - 1) k = i - j - k , então:
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos identificar a borda da superfície alpha(t) = cos(t) i + sin(t) j + (2 - cos^2(t) - sin^2(t)) k, t in [0, 2pi] . Como alpha(t) = cos(t) i + sin(t) j + (2 - 1) k = cos(t) i + sin(t) j + k está definida para , a borda é o círculo , que pode ser parametrizado por:
Como , isso simplifica para:

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes, a integral de superfície da rotacional de integral duplasigma rot F cdot eta , dS = ointalpha F cdot dr pode ser convertida em uma integral de linha de ao longo da borda :
Então, precisamos calcular ao longo de e a diferencial .

Passo 5

Primeiro, vamos expressar F(alpha(t)) = y i + (x + y) k = sin(t) i + (cos(t) + sin(t)) k ao longo de dr = dalphadt dt = (-sin(t) i + cos(t) j + 0 k) dt :
Agora, calculamos :

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr = ( sin(t) i + (cos(t) + sin(t)) k ) cdot ( -sin(t) i + cos(t) j ) dt :
F cdot dr = sin(t) cdot (-sin(t)) + (cos(t) + sin(t)) cdot 0 = -sin^2(t) , dt
Como ointalpha F cdot dr = integral0^2pi -sin^2(t) , dt , , etc.:
Então, a integral de linha fica:

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral0^2pi -sin^2(t) , dt = -integral0^2pi sin^2(t) , dt
Sabemos que:
integral sin^2(t) , dt = t2 - sin(2t)4 + C
Aplicando os limites:
-[ 2pi2 - sin(4pi)4 - ( 0 - sin(0)4 ) ] = -( pi - 0 ) = -pi

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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