Obtenha a representação em série de potências em torno de x = 0 das funções a seguir. Em cada caso, determine o raio de convergência da série. a) (1.5 ponto) f(x) = 1 / (x - 3)^(2).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Precisamos encontrar a representação em série de potências em torno de para a função . Além disso, temos que determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e manipulação de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a obtenção da série. A função dada é:
Podemos reescrever isso de maneira que se pareça com a forma conhecida da série geométrica. Vamos fatorar o denominador:

Passo 3

Sabemos que a série de potências para é:
Aqui, . Substituindo na série, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão para deixar a série mais clara:

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. Para isso, usamos a condição da série geométrica , onde :
Portanto, o raio de convergência é 3.

Resposta

A representação em série de potências de em torno de é:
O raio de convergência da série é 3.

Exercícios relacionados

Considere o campo vetorial F(x, y, z)=y i+(x+y) k definido em R^3. Para cada uma das superfícies dadas abaixo, calcule usando o teorema de Stokes a integral de superfície
integral duplasigma rot F cdot eta d S
sendo eta a normal apontando para cima
a) sigma(u, v)=u i+v j+(2-u^2-v^2) k, com(u, v) in K: u^2+v^2 <= 1.
b) sigma(u, v)=u i+v j+raizu^2+v^2 k, com(u, v) in K: u^2+v^2 <= 1.
c) sigma uma superfície arbitrária com bordo descrito por alpha(t)=(cos (t), sen(t), 1), t in[0,2 pi].
Determine o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (-1)^n(x-1)^nn 2^n.
Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = y i + z j + 2 k, sobre do bordo de sigma, orientado positivamente; sendo sigma a porção do paraboloide z = 3 - x^2 - y^2 contido dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1.
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. (1 ponto ) sumn=1^infty(3 n+44 n+5)^n.