Obtenha a representação em série de potências em torno de das funções a seguir. Em cada caso, determine o raio de convergência da série. a) (1.5 ponto) .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Precisamos encontrar a representação em série de potências em torno de para a função . Além disso, temos que determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e manipulação de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a obtenção da série. A função dada é:
Podemos reescrever isso de maneira que se pareça com a forma conhecida da série geométrica. Vamos fatorar o denominador:
Passo 3
Sabemos que a série de potências para é:
Aqui, . Substituindo na série, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão para deixar a série mais clara:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. Para isso, usamos a condição da série geométrica , onde :
Portanto, o raio de convergência é 3.
Resposta
A representação em série de potências de em torno de é: