Obtenha a representação em série de potências em torno de x = 0 das funções a seguir. Em cada caso, determine o raio de convergência da série. a) (1.5 ponto) f(x) = 1 / (x - 3)^(2).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Precisamos encontrar a representação em série de potências em torno de para a função . Além disso, temos que determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e manipulação de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a obtenção da série. A função dada é:
Podemos reescrever isso de maneira que se pareça com a forma conhecida da série geométrica. Vamos fatorar o denominador:

Passo 3

Sabemos que a série de potências para é:
Aqui, . Substituindo na série, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão para deixar a série mais clara:

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. Para isso, usamos a condição da série geométrica , onde :
Portanto, o raio de convergência é 3.

Resposta

A representação em série de potências de em torno de é:
O raio de convergência da série é 3.

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