Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = y i + z j + 2 k, sobre do bordo de sigma, orientado positivamente; sendo sigma a porção do paraboloide z = 3 - x^2 - y^2 contido dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo do bordo da superfície . Essa superfície é a parte do paraboloide que está dentro do cilindro . Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes e como calcular o rotacional do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de um caminho fechado com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como bordo. A fórmula do Teorema de Stokes é:
Onde é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional do campo vetorial . O rotacional é dado por:
Para o campo , temos:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície . Como está dentro do cilindro , é conveniente usar coordenadas polares. Vamos definir:
Onde e .
O vetor normal pode ser encontrado a partir dos vetores tangentes:
O produto vetorial dá o vetor normal:
Como a orientação é positiva, mantemos esse vetor normal.

Passo 5

Vamos agora calcular a integral de superfície:
Calculando o produto escalar:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:
Agora, integramos em relação a :

Resposta

Portanto, a integral de linha do campo vetorial sobre o bordo de é .

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