Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial
, sobre do bordo de
, orientado positivamente; sendo
a porção do paraboloide
contido dentro do cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo do bordo da superfície
. Essa superfície é a parte do paraboloide
que está dentro do cilindro
. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes e como calcular o rotacional do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de um caminho fechado
com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície
que tem
como bordo. A fórmula do Teorema de Stokes é:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional do campo vetorial
. O rotacional
é dado por:
Para o campo
, temos:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar a superfície
. Como
está dentro do cilindro
, é conveniente usar coordenadas polares. Vamos definir:
Onde
e
.
O vetor normal
pode ser encontrado a partir dos vetores tangentes:
O produto vetorial
dá o vetor normal:
Como a orientação é positiva, mantemos esse vetor normal.
Passo 5
Vamos agora calcular a integral de superfície:
Calculando o produto escalar:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
Portanto, a integral de linha do campo vetorial
sobre o bordo de
é
.