Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(j) sumn=1^infty 1n+raizn+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a série e precisa verificar se ela converge ou diverge usando o Teste de Comparação. Para isso, vamos lembrar o que é esse teste e escolher uma série famosa para comparar com a nossa.

Passo 2

Primeiro, o Teste de Comparação é uma técnica que usamos para determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série conhecida. Se a nossa série for menor ou igual a uma série que sabemos que converge, então a nossa também converge. Se for maior ou igual a uma que sabemos que diverge, ela também diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo geral da nossa série: n + raizn+5 approx n + raizn = n + n^1/2 . Queremos simplificar isso para facilitar a comparação. Observando , vemos que para valores grandes de , é aproximadamente .
Então, podemos simplificar o denominador:

Passo 4

Para grandes valores de 1n + raizn+5 approx 1n , domina , então é aproximadamente . Portanto, o termo geral da nossa série se comporta como:

Passo 5

Sabemos que a série , que é a série harmônica, diverge. Vamos usar essa série como nossa série de comparação.

Passo 6

Agora, vamos comparar os termos:
1n + raizn+5 >= 1n + n = 12n
Isso porque para .

Passo 7

Como é uma constante múltiplo de e a série diverge, então, pelo Teste de Comparação, a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste de Comparação.

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Considere a superfície sigma como sendo a porção do gráfico da função f(x, y) = 1 - x^2 - y^2, delimitada pelos planos x >= 0 e y ≥ 0 e pela elipse 3 x^2 + 2 y^2 <= 1.
a) Obtenha uma parametrização para o bordo de sigma, orientado positivamente.
b) Use a definição para calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = y i - x j + k, sobre do bordo de sigma, orientado positivamente.
c) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = y i - x j + k, sobre do bordo de sigma, orientado positivamente.
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. (1 ponto) sumn=1^infty sen(n)n raizn.
Determine o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (-1)^n(x-1)^nn 2^n.
Considere o campo vetorial F(x, y, z)=y i+(x+y) k definido em R^3. Para cada uma das superfícies dadas abaixo, calcule usando o teorema de Stokes a integral de superfície
integral duplasigma rot F cdot eta d S
sendo eta a normal apontando para cima
a) sigma(u, v)=u i+v j+(2-u^2-v^2) k, com(u, v) in K: u^2+v^2 <= 1.
b) sigma(u, v)=u i+v j+raizu^2+v^2 k, com(u, v) in K: u^2+v^2 <= 1.
c) sigma uma superfície arbitrária com bordo descrito por alpha(t)=(cos (t), sen(t), 1), t in[0,2 pi].