Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(j)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a série
e precisa verificar se ela converge ou diverge usando o Teste de Comparação. Para isso, vamos lembrar o que é esse teste e escolher uma série famosa para comparar com a nossa.
Passo 2
Primeiro, o Teste de Comparação é uma técnica que usamos para determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série conhecida. Se a nossa série for menor ou igual a uma série que sabemos que converge, então a nossa também converge. Se for maior ou igual a uma que sabemos que diverge, ela também diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo geral da nossa série:
. Queremos simplificar isso para facilitar a comparação. Observando
, vemos que para valores grandes de
,
é aproximadamente
.
Então, podemos simplificar o denominador:
Passo 4
Para grandes valores de
,
domina
, então
é aproximadamente
. Portanto, o termo geral da nossa série se comporta como:
Passo 5
Sabemos que a série
, que é a série harmônica, diverge. Vamos usar essa série como nossa série de comparação.
Passo 6
Agora, vamos comparar os termos:
Isso porque
para
.
Passo 7
Como
é uma constante múltiplo de
e a série
diverge, então, pelo Teste de Comparação, a nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste de Comparação.
Exercícios relacionados
Considere a superfície
como sendo a porção do gráfico da função
, delimitada pelos planos
e
e pela elipse
.
a) Obtenha uma parametrização para o bordo de , orientado positivamente.
b) Use a definição para calcular a integral de linha do campo vetorial , sobre do bordo de
, orientado positivamente.
c) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial , sobre do bordo de
, orientado positivamente.
a) Obtenha uma parametrização para o bordo de
b) Use a definição para calcular a integral de linha do campo vetorial
c) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
ponto)
.
Determine o intervalo de convergência da série de potências
.
Considere o campo vetorial
definido em
. Para cada uma das superfícies dadas abaixo, calcule usando o teorema de Stokes a integral de superfície
sendo
a normal apontando para cima
a) .
b) ,
.
c) uma superfície arbitrária com bordo descrito por
.
a)
b)
c)