Determine o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (-1)^n(x-1)^nn 2^n.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e aplicar o Teste da Razão para descobrir os valores de para os quais a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica útil para determinar o comportamento de séries infinitas. O teste diz que a série limn to infty | an+1an | < 1 converge absolutamente se:
an = (-1)^n(x-1)^nn 2^n
No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos calcular | an+1an | = | (-1)^n+1(x-1)^n+1(n+1) 2^n+1 cdot n 2^n(-1)^n(x-1)^n | :
= | (x-1) cdot n2(n+1) |
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty | (x-1) cdot n2(n+1) | = | x-12 | cdot limn to infty nn+1 = | x-12 | cdot 1 = | x-12 | tende ao infinito:

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
| x-12 | < 1
Resolvendo a desigualdade:
|x-1| < 2 implies -2 < x - 1 < 2 implies -1 < x < 3

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

Exercícios relacionados

Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(j) sumn=1^infty 1n+raizn+5
Considere a superfície sigma como sendo a porção do gráfico da função f(x, y) = 1 - x^2 - y^2, delimitada pelos planos x >= 0 e y ≥ 0 e pela elipse 3 x^2 + 2 y^2 <= 1.
a) Obtenha uma parametrização para o bordo de sigma, orientado positivamente.
b) Use a definição para calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = y i - x j + k, sobre do bordo de sigma, orientado positivamente.
c) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = y i - x j + k, sobre do bordo de sigma, orientado positivamente.
Considere o campo vetorial F(x, y, z)=y i+(x+y) k definido em R^3. Para cada uma das superfícies dadas abaixo, calcule usando o teorema de Stokes a integral de superfície
integral duplasigma rot F cdot eta d S
sendo eta a normal apontando para cima
a) sigma(u, v)=u i+v j+(2-u^2-v^2) k, com(u, v) in K: u^2+v^2 <= 1.
b) sigma(u, v)=u i+v j+raizu^2+v^2 k, com(u, v) in K: u^2+v^2 <= 1.
c) sigma uma superfície arbitrária com bordo descrito por alpha(t)=(cos (t), sen(t), 1), t in[0,2 pi].
Obtenha a representação em série de potências em torno de x = 0 das funções a seguir. Em cada caso, determine o raio de convergência da série. a) (1.5 ponto) f(x) = 1 / (x - 3)^(2).