Determine o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (-1)^n(x-1)^nn 2^n.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e aplicar o Teste da Razão para descobrir os valores de para os quais a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica útil para determinar o comportamento de séries infinitas. O teste diz que a série limn to infty | an+1an | < 1 converge absolutamente se:
an = (-1)^n(x-1)^nn 2^n
No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos calcular | an+1an | = | (-1)^n+1(x-1)^n+1(n+1) 2^n+1 cdot n 2^n(-1)^n(x-1)^n | :
= | (x-1) cdot n2(n+1) |
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty | (x-1) cdot n2(n+1) | = | x-12 | cdot limn to infty nn+1 = | x-12 | cdot 1 = | x-12 | tende ao infinito:

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
| x-12 | < 1
Resolvendo a desigualdade:
|x-1| < 2 implies -2 < x - 1 < 2 implies -1 < x < 3

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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