Determine o intervalo de convergência da série de potências
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e aplicar o Teste da Razão para descobrir os valores de
para os quais a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica útil para determinar o comportamento de séries infinitas. O teste diz que a série
converge absolutamente se:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos calcular
| an+1an | = | (-1)^n+1(x-1)^n+1(n+1) 2^n+1 cdot n 2^n(-1)^n(x-1)^n | :
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
limn to infty | (x-1) cdot n2(n+1) | = | x-12 | cdot limn to infty nn+1 = | x-12 | cdot 1 = | x-12 | tende ao infinito:
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
Resolvendo a desigualdade:
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.
Exercícios relacionados
Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(j)sumn=1^infty 1n+raizn+5
(j)
Considere a superfície
sigma como sendo a porção do gráfico da função
f(x, y) = 1 - x^2 - y^2 , delimitada pelos planos
x >= 0 e
y ≥ 0 e pela elipse
3 x^2 + 2 y^2 <= 1 .
a) Obtenha uma parametrização para o bordo desigma , orientado positivamente.
b) Use a definição para calcular a integral de linha do campo vetorialF(x, y, z) = y i - x j + k , sobre do bordo de
sigma , orientado positivamente.
c) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorialF(x, y, z) = y i - x j + k , sobre do bordo de
sigma , orientado positivamente.
a) Obtenha uma parametrização para o bordo de
b) Use a definição para calcular a integral de linha do campo vetorial
c) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial
Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=y i+(x+y) k definido em
R^3 . Para cada uma das superfícies dadas abaixo, calcule usando o teorema de Stokes a integral de superfície
sendo
eta a normal apontando para cima
a)sigma(u, v)=u i+v j+(2-u^2-v^2) k, com(u, v) in K: u^2+v^2 <= 1 .
b)sigma(u, v)=u i+v j+raizu^2+v^2 k ,
com(u, v) in K: u^2+v^2 <= 1 .
c)sigma uma superfície arbitrária com bordo descrito por
alpha(t)=(cos (t), sen(t), 1), t in[0,2 pi] .
a)
b)
c)
Obtenha a representação em série de potências em torno de
x = 0 das funções a seguir. Em cada caso, determine o raio de convergência da série. a) (1.5 ponto)
f(x) = 1 / (x - 3)^(2) .