Encontre a solução geral do sistema de equações dados.
x^prime=(ll 2 & -5 1 & -2 ) x+binom0cos t, 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações diferenciais que você enviou. A questão trata de um sistema linear de equações diferenciais com um termo não homogêneo. Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar a solução geral do sistema homogêneo associado.
  2. Encontrar uma solução particular para o sistema completo.
  3. Somar essas duas soluções para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no sistema homogêneo associado:
x^prime = 2 & -5 1 & -2 x
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz dos coeficientes. Isso envolve resolver o determinante da matriz subtraída por λ vezes a matriz identidade igual a zero:
det( 2-lambda & -5 1 & -2-lambda ) = 0
Calculando o determinante:
(2-lambda)(-2-lambda) - (-5)(1) = 0 (-4 -2lambda +2lambda + lambda^2) +5 = 0 lambda^2 -4 +5 = 0 lambda^2 +1 = 0 lambda^2 = -1 lambda = pm i
Então, os valores próprios são α = i e β = -i.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Vamos começar com λ = i.
Substituindo λ = i na equação (A - λI)v = 0:
2 - i & -5 1 & -2 - i v1 v2 = 0 0
Isso nos dá o sistema de equações:
(2 - i)v1 -5v2 = 0 v1 + (-2 - i)v2 = 0
Podemos resolver para v₁ em termos de v₂ na primeira equação:
v₁ = 52 - i v2
Multiplicando numerador e denominador por 2 + i para racionalizar:
v₁ = 5(2 + i)(2 - i)(2 + i) v2 = 10 +5i4 +1 v2 = 10 +5i5 v2 = 2 + i
Então, um vetor próprio correspondente a λ = i é:
v = 2 + i 1

Passo 4

Com os valores próprios e vetores próprios definidos, podemos escrever a solução geral do sistema homogêneo usando exponenciais complexas. A solução geral é dada por:
xh(t) = e^alpha t ( C1 Re(v) + C2 Im(v) )
Onde:
  • xh(t) = C1 2 1 cos(t) + C2 -1 0 sin(t) é a parte real dos autovalores (neste caso, 0, já que os autovalores são puros imaginários).
  • e são constantes arbitrárias.
  • e são as partes real e imaginária do vetor próprio, respectivamente.
Substituindo:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo:
x^prime = 2 & -5 1 & -2 x + 0 cos t
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Vamos supor que a solução particular tem a forma:
xp(t) = A cos t + B sin t C cos t + D sin t
Derivando:
xp^,prime(t) = -A sin t + B cos t -C sin t + D cos t
Substituindo na equação original:
-A sin t + B cos t -C sin t + D cos t = 2 & -5 1 & -2 A cos t + B sin t C cos t + D sin t + 0 cos t
Multiplicando as matrizes:
2(A cos t + B sin t) -5(C cos t + D sin t) (A cos t + B sin t) -2(C cos t + D sin t) + 0 cos t
Simplificando:
(2A -5C)cos t + (2B -5D)sin t (A -2C)cos t + (B -2D)sin t + cos t
Igualando aos lados direito e esquerdo:
Para a componente x:
-A sin t + B cos t = (2A -5C)cos t + (2B -5D)sin t
Para a componente y:
-C sin t + D cos t = (A -2C)cos t + (B -2D)sin t + cos t
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. A = 529, B = 229, C = -429, D = 529
  2. xp(t) = 529 cos t + 229 sin t -429 cos t + 529 sin t
  3. (já que não há termo constante em na parte y, a não ser o +cos t, que será tratado separadamente)
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de A, B, C e D.
Após resolver, encontramos:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:
x(t) = C1 2 1 cos(t) + C2 -1 0 sin(t) + 529 cos t + 229 sin t -429 cos t + 529 sin t
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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