Encontre a solução geral do sistema de equações dados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações diferenciais que você enviou. A questão trata de um sistema linear de equações diferenciais com um termo não homogêneo. Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar a solução geral do sistema homogêneo associado.
  2. Encontrar uma solução particular para o sistema completo.
  3. Somar essas duas soluções para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no sistema homogêneo associado:
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz dos coeficientes. Isso envolve resolver o determinante da matriz subtraída por λ vezes a matriz identidade igual a zero:
Calculando o determinante:
Então, os valores próprios são α = i e β = -i.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Vamos começar com λ = i.
Substituindo λ = i na equação (A - λI)v = 0:
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos resolver para v₁ em termos de v₂ na primeira equação:
Multiplicando numerador e denominador por 2 + i para racionalizar:
Então, um vetor próprio correspondente a λ = i é:

Passo 4

Com os valores próprios e vetores próprios definidos, podemos escrever a solução geral do sistema homogêneo usando exponenciais complexas. A solução geral é dada por:
Onde:
  • é a parte real dos autovalores (neste caso, 0, já que os autovalores são puros imaginários).
  • e são constantes arbitrárias.
  • e são as partes real e imaginária do vetor próprio, respectivamente.
Substituindo:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo:
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Vamos supor que a solução particular tem a forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Multiplicando as matrizes:
Simplificando:
Igualando aos lados direito e esquerdo:
Para a componente x:
Para a componente y:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. (já que não há termo constante em na parte y, a não ser o +cos t, que será tratado separadamente)
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de A, B, C e D.
Após resolver, encontramos:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Considere o campo vetorial definido por
(a) Mostre que o campo vetorial é conservativo.
(b) Encontre uma função potencial para .
© Calcule o trabalho de ao longo do caminho , sen , com .
  • Respostas : (a)
Considere a integral de linha .
(a) Determine a constante para que esta integral seja independente do caminho.
(b) Utilizando encontrado, encontre a função potencial , onde .
© Calcule, utilizando a função potencial, a integral percorrendo de a .
  • Respostas : (a)
Encontre a solução geral do sistema de equações dados.
Mostre que função é descontínua em