Encontre a solução geral do sistema de equações dados.

Passo 1

Estamos lidando com um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem. O objetivo é encontrar a solução geral do sistema dado por:
Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea do sistema e, em seguida, uma solução particular para o sistema completo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para encontrar a solução homogênea, precisamos determinar os autovalores e os autovetores da matriz coeficiente.

Passo 3

Calculamos os autovalores resolvendo o determinante da matriz :
Calculando o determinante:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Agora, encontraremos os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Da segunda equação, . Podemos escolher , então . Assim, o autovetor é .
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação, . Escolhendo , temos . Então, o autovetor é .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores encontrados, a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo:
Vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde e são funções a serem determinadas.

Passo 7

Substituímos na equação original:
Isso resulta em um sistema de equações diferenciais:

Passo 8

Para resolver esse sistema, podemos usar o método de coeficientes indeterminados. Observamos que os termos não homogêneos são e constantes. Vamos tentar soluções particulares da forma:
Onde são constantes a serem encontradas.

Passo 9

Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação do passo 7:
Simplificando as equações:
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes em ambas as equações.
Da primeira equação:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Da segunda equação:
Para :
Mas já encontramos no passo anterior. Isso indica que precisamos reconsiderar nossa suposição para a forma da solução particular.

Passo 11

Como houve inconsistência na suposição inicial, vamos ajustar a forma da solução particular para incluir termos multiplicados por . Vamos assumir:
Mas já fizemos isso. Outra alternativa é tentar uma solução particular onde os termos constantes sejam considerados separadamente.
Vamos separar os termos não homogêneos:
  • Para os termos com , encontramos e .
  • Para os termos constantes, da primeira equação, .
  • Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Isso ainda gera uma inconsistência, indicando que precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 12

Vamos tentar separar a solução particular em duas partes: uma para os termos com e outra para os termos constantes.
Para os termos com :
Assumimos:
Substituindo na parte não homogênea :
Após resolver, encontramos e .
Para os termos constantes:
Assumimos:
Substituindo na parte constante :
Obtemos:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Isso também é inconsistente, indicando que precisamos ajustar a suposição.

Passo 13

Percebemos que o termo constante não pode ser resolvido diretamente, então vamos assumir que a solução particular para os termos constantes é uma constante vetorial .
Substituindo na equação homogênea:
Isso leva ao sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação:
Isso ainda é inconsistente, então precisamos tentar outra abordagem, como a variação de parâmetros.

Passo 14

Vamos usar o método da variação de parâmetros para encontrar a solução particular. A ideia é assumir que as constantes e na solução homogênea são funções de .
Então, a solução particular tem a forma:
Derivamos isso em relação a :
Substituímos na equação original:
Isso nos leva a:
Após simplificar, obtemos um sistema para encontrar e .

Passo 15

Resolvendo o sistema resultante, encontramos as funções e . Após os c��lculos, obtemos a solução particular:

Resposta

A solução geral do sistema de equações diferenciais dado é:
onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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