Considere o campo vetorial
Determine se é ou não um campo conservativo. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para .

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o problema está pedindo. Temos um campo vetorial dado por
E precisamos descobrir se esse campo é conservativo. Se for, também temos que achar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar tal que
Isso quer dizer que as componentes de são as derivadas parciais de . Além disso, para que um campo seja conservativo em uma região simplesmente conexa, as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais. Ou seja,
onde e são as componentes do campo .

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas:
Primeiro, :
Segundo, :
Vimos que:
Isso confirma que o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Onde é uma função que depende apenas de . Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso nos dá:
Integrando :
Onde é a constante de integração. Agora, podemos escrever a função potencial completa:

Resposta

O campo é conservativo, e uma função potencial para ele é

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Determine a derivada direcional da função na direção .
©
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(a) Determine a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor
i.
Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor
(a)