Considere o campo vetorial
Determine se
é ou não um campo conservativo. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o problema está pedindo. Temos um campo vetorial dado por
E precisamos descobrir se esse campo é conservativo. Se for, também temos que achar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar
tal que
Isso quer dizer que as componentes de
são as derivadas parciais de
. Além disso, para que um campo seja conservativo em uma região simplesmente conexa, as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais. Ou seja,
onde
e
são as componentes do campo
.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas:
Primeiro,
:
Segundo,
:
Vimos que:
Isso confirma que o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Onde
é uma função que depende apenas de
. Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso nos dá:
Integrando
:
Onde
é a constante de integração. Agora, podemos escrever a função potencial completa:
Resposta
O campo
é conservativo, e uma função potencial para ele é
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional
da função
na direção
.
©
©
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
.
Seja
.
(a) Determine a derivada direcional de no ponto
e na direção do vetor
i.
(a) Determine a derivada direcional de
i.
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
(a)
(a)