Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso está dentro da matéria de séries infinitas, mais especificamente sobre convergência de séries. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma técnica que nos ajuda a verificar se uma série converge ou diverge com base no comportamento dos termos.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série , se calcularmos o limite:
E:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não nos dá informação e precisamos tentar outro método.
Vamos calcular esse limite para a nossa série.

Passo 3

Primeiro, identificamos . Agora, calculamos :
Agora, vamos calcular :
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse termo quando tende ao infinito:
Sabemos que:
Portanto, nosso limite também será igual a .

Passo 5

Com , segundo o Teste da Razão, isso nos indica que a série é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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