Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty n!n^n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty n!n^n é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso está dentro da matéria de séries infinitas, mais especificamente sobre convergência de séries. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma técnica que nos ajuda a verificar se uma série converge ou diverge com base no comportamento dos termos.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série sum an, se calcularmos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
E:
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não nos dá informação e precisamos tentar outro método.
Vamos calcular esse limite para a nossa série.

Passo 3

Primeiro, identificamos an = n!n^n. Agora, calculamos an+1:
Agora, vamos calcular an+1 = (n+1)!(n+1)^n+1 = (n+1) cdot n!(n+1)^n+1 = n!(n+1)^n :
Simplificando, temos:
an+1an

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse termo quando n tende ao infinito:
L = limn to infty (1 - 1n+1)^n
Sabemos que:
limn to infty (1 - 1n)^n = 1e approx 0.3679
Portanto, nosso limite L também será igual a 1e.

Passo 5

Com L = 1e < 1, segundo o Teste da Razão, isso nos indica que a série sumn=1^infty n!n^n é absolutamente convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty n!n^n é absolutamente convergente.

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