Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso está dentro da matéria de séries infinitas, mais especificamente sobre convergência de séries. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma técnica que nos ajuda a verificar se uma série converge ou diverge com base no comportamento dos termos.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série , se calcularmos o limite:
E:
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste não nos dá informação e precisamos tentar outro método.
Vamos calcular esse limite para a nossa série.
Passo 3
Primeiro, identificamos . Agora, calculamos :
Agora, vamos calcular :
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite desse termo quando tende ao infinito:
Sabemos que:
Portanto, nosso limite também será igual a .
Passo 5
Com , segundo o Teste da Razão, isso nos indica que a série é absolutamente convergente.