Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor
(a)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de três variáveis, , e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente e produto escalar.

Passo 2

A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é calculada usando o gradiente da função nesse ponto e o vetor de direção. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função.
Primeiro, vamos calcular o gradiente de .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de :
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção , que em componentes é . A normalização é importante para garantir que o vetor tenha comprimento 1.
O comprimento de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

Agora, usamos o gradiente e o vetor unitário para encontrar a derivada direcional. Isso é feito pelo produto escalar entre e :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é 0.

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Seja .
(a) Determine a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor
i.
Considere o campo vetorial
Determine se é ou não um campo conservativo. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para .
Usando a regra da cadeia, calcule .
(e)
Encontre e .
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