Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
(a)
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de três variáveis,
, e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente e produto escalar.
Passo 2
A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é calculada usando o gradiente da função nesse ponto e o vetor de direção. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função.
Primeiro, vamos calcular o gradiente de
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção
, que em componentes é
. A normalização é importante para garantir que o vetor tenha comprimento 1.
O comprimento de
é:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 6
Agora, usamos o gradiente e o vetor unitário para encontrar a derivada direcional. Isso é feito pelo produto escalar entre
e
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é 0.
Exercícios relacionados
Seja
.
(a) Determine a derivada direcional de no ponto
e na direção do vetor
i.
(a) Determine a derivada direcional de
i.
Considere o campo vetorial
Determine se
é ou não um campo conservativo. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para
.
Usando a regra da cadeia, calcule
.
(e)
(e)
Encontre
e
.
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