Seja .
(a) Determine a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor
i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, , e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor .
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Derivada Direcional: Mede a taxa de variação da função em uma direção específica.
  • Gradiente: Um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é usado para calcular a derivada direcional.
  • Normalização do Vetor: Transformar o vetor dado em um vetor unitário (com comprimento 1) para usarmos na fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é formado pelas derivadas parciais de em relação a e .
Vamos encontrar e .

Passo 3

Calculando :
Usamos a regra do quociente:

Passo 4

Calculando :
Aqui, apenas varia, então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto .
Primeiro, substituímos e em :
Agora, para :
Então, o gradiente em é:

Passo 6

Agora, precisamos normalizar o vetor para obter um vetor unitário .
Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 7

Finalmente, a derivada direcional de na direção de no ponto é o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

Exercícios relacionados

Considere o campo vetorial
Determine se é ou não um campo conservativo. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para .
Determine a derivada direcional da função na direção .
©
Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor
(a)
Usando a regra da cadeia, calcule .
(e)