Seja .
(a) Determine a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor
i.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, , e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor .
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
Derivada Direcional: Mede a taxa de variação da função em uma direção específica.
Gradiente: Um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é usado para calcular a derivada direcional.
Normalização do Vetor: Transformar o vetor dado em um vetor unitário (com comprimento 1) para usarmos na fórmula da derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é formado pelas derivadas parciais de em relação a e .
Vamos encontrar e .
Passo 3
Calculando :
Usamos a regra do quociente:
Passo 4
Calculando :
Aqui, apenas varia, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto .
Primeiro, substituímos e em :
Agora, para :
Então, o gradiente em é:
Passo 6
Agora, precisamos normalizar o vetor para obter um vetor unitário .
Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário é:
Passo 7
Finalmente, a derivada direcional de na direção de no ponto é o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .