Determine a derivada direcional
da função
na direção
.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e produto escalar.
Passo 2
Vamos começar calculando o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 4
Em seguida, avaliamos o gradiente no ponto
. Como o gradiente é constante para essa função linear, continuamos com:
Passo 5
A derivada direcional
é calculada como o produto escalar do gradiente com o vetor de direção
:
Resposta
A derivada direcional
é igual a 5.
Exercícios relacionados
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
.
Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(i)
(i)
Considere o campo vetorial
Determine se
é ou não um campo conservativo. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para
.
Seja
.
(a) Determine a derivada direcional de no ponto
e na direção do vetor
i.
(a) Determine a derivada direcional de
i.