Considere o campo vetorial F(x, y) = < e^y, x * e^y + 2 * y >
Calcule o trabalho realizado pelo campo F em uma partícula que se move de P(0,3) até Q(2,1) ao longo de uma curva lisa arbitrária de P até Q.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial F(x, y) = < e^y, x * e^y + 2 * y > e precisa calcular o trabalho realizado por esse campo quando uma partícula se move do ponto P(0,3) até Q(2,1) ao longo de qualquer curva lisinha que conecte esses dois pontos. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de linha e verificar se o campo é conservativo para facilitar nossa vida nessa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva é calculado usando a integral de linha:
Aqui, representa o produto escalar entre o campo vetorial e o elemento de deslocamento ao longo da curva C.

Passo 3

Antes de irmos direto para parametrizar a curva e calcular a integral, vamos verificar se o campo F é conservativo. Isso é útil porque, se F for conservativo, o trabalho realizado depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.
Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial phi(x, y) tal que:
Para verificar se F é conservativo, precisamos checar se as derivadas cruzadas são iguais, ou seja, se:

Passo 4

Vamos identificar P e Q no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como , o campo F é conservativo.

Passo 5

Já que F é conservativo, podemos encontrar uma função potencial phi(x, y) tal que:
Vamos encontrar phi(x, y) integrando P em relação a x:
Aqui, g(y) é uma função de y que surge da integração. Agora, derivamos phi(x, y) em relação a y e igualamos a Q para encontrar g(y):
Isso implica que:
Podemos ignorar a constante C já que ela se cancela na diferença. Portanto, a função potencial é:

Passo 6

Agora que temos a função potencial, o trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula de P a Q é simplesmente:
Vamos calcular e :
Para Q(2,1):
Para P(0,3):

Resposta

Portanto, o trabalho realizado pelo campo F ao mover a partícula de P(0,3) até Q(2,1) é:

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