Considere o campo vetorial
Calcule o trabalho realizado pelo campo
em uma partícula que se move de
até
ao longo de uma curva lisa arbitrária de
até
.
Calcule o trabalho realizado pelo campo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e precisa calcular o trabalho realizado por esse campo quando uma partícula se move do ponto
até
ao longo de qualquer curva lisinha que conecte esses dois pontos. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de linha e verificar se o campo é conservativo para facilitar nossa vida nessa resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva é calculado usando a integral de linha:
Aqui,
representa o produto escalar entre o campo vetorial e o elemento de deslocamento ao longo da curva
.
Passo 3
Antes de irmos direto para parametrizar a curva e calcular a integral, vamos verificar se o campo
é conservativo. Isso é útil porque, se
for conservativo, o trabalho realizado depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.
Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função potencial
tal que:
Para verificar se
é conservativo, precisamos checar se as derivadas cruzadas são iguais, ou seja, se:
Passo 4
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 5
Já que
é conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração. Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso implica que:
Podemos ignorar a constante
já que ela se cancela na diferença. Portanto, a função potencial é:
Passo 6
Agora que temos a função potencial, o trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula de
a
é simplesmente:
Vamos calcular
e
:
Para
:
Para
:
Resposta
Portanto, o trabalho realizado pelo campo
ao mover a partícula de
até
é:
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
.
O campo , definido em todo plano
, é conservativo? Justifique sua resposta. Se sim, encontre uma função
tal que
.
O campo
Considere o campo vetorial
.
Calcule o trabalho que o campo de forças realiza em uma partícula que se desloca desde
até
ao longo do arco do círculo
no sentido anti-horário.
Calcule o trabalho que o campo de forças
Considere o campo vetorial
Confirme que o campo é conservativo em todo plano e encontre uma função potencial
.
Confirme que o campo
Considere o campo vetorial
Calcule o trabalho realizado pelo campo em uma partícula que se move de
até
ao longo de uma curva lisa arbitrária de
até
.
Calcule o trabalho realizado pelo campo