Considere o campo vetorial
Confirme que o campo é conservativo em todo plano e encontre uma função potencial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o campo vetorial é conservativo em todo o plano. Além disso, precisamos encontrar uma função potencial que corresponda a esse campo. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial tal que , ou seja, é o gradiente de . Uma propriedade importante dos campos conservativos é que a circulação do campo ao longo de qualquer caminho fechado é zero.
Para verificar se é conservativo, vamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, se , onde .

Passo 3

Vamos identificar as componentes e do campo :
Agora, calculamos as derivadas parciais cruzadas:

Passo 4

Observamos que:
Como as derivadas parciais cruzadas são iguais, isso nos indica que o campo é conservativo em todo o plano.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de que surge da constante de integração.

Passo 6

Para encontrar , usamos a outra componente:
Derivando em relação a :
Igualando com :
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero, já que a função potencial é definida até uma constante aditiva.

Resposta

A função potencial é .

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Use o Teorema de Green para calcular a integral
onde é a fronteira da região compreendida por e , e está orientada no sentido anti-horário.