Considere o campo vetorial
Confirme que o campo
é conservativo em todo plano e encontre uma função potencial
.
Confirme que o campo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o campo vetorial
é conservativo em todo o plano. Além disso, precisamos encontrar uma função potencial
que corresponda a esse campo. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo
é conservativo se existir uma função potencial
tal que
, ou seja,
é o gradiente de
. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que a circulação do campo ao longo de qualquer caminho fechado é zero.
Para verificar se
é conservativo, vamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, se
, onde
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes
e
do campo
:
Agora, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
Passo 4
Observamos que:
Como as derivadas parciais cruzadas são iguais, isso nos indica que o campo
é conservativo em todo o plano.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que surge da constante de integração.
Passo 6
Para encontrar
, usamos a outra componente:
Derivando
em relação a
:
Igualando com
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero, já que a função potencial é definida até uma constante aditiva.
Resposta
A função potencial é
.
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Considere o campo vetorial
Calcule o trabalho realizado pelo campo em uma partícula que se move de
até
ao longo de uma curva lisa arbitrária de
até
.
Calcule o trabalho realizado pelo campo
Considere o campo vetorial
.
O campo , definido em todo plano
, é conservativo? Justifique sua resposta. Se sim, encontre uma função
tal que
.
O campo
Considere o campo vetorial
Calcule o trabalho realizado pelo campo em uma partícula que se move de
até
ao longo de uma curva lisa arbitrária de
até
.
Calcule o trabalho realizado pelo campo
Use o Teorema de Green para calcular a integral
onde
é a fronteira da região compreendida por
e
, e
está orientada no sentido anti-horário.