Considere o campo vetorial F(x, y) = <3y^2 + 2xy, 6xy + x^2 + 1>.
O campo F, definido em todo plano R^2, é conservativo? Justifique sua resposta. Se sim, encontre uma função phi tal que F = nabla phi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial dado por . A pergunta é: será que esse campo é conservativo? E se for, precisamos achar uma função tal que . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e condições para ser um campo conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar , ou seja, e . Uma condição necessária para que seja conservativo é que as derivadas cruzadas satisfaçam .
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo:
Calculando :
E :
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função tal que . Isso significa que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função de que surge na constante de integração.
Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Comparando os termos, vemos que:
Onde é uma constante. Podemos ignorar na função potencial, então:

Resposta

Sim, o campo é conservativo. Uma função potencial é .

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