Considere o campo vetorial
.
O campo
, definido em todo plano
, é conservativo? Justifique sua resposta. Se sim, encontre uma função
tal que
.
O campo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial dado por
. A pergunta é: será que esse campo é conservativo? E se for, precisamos achar uma função
tal que
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e condições para ser um campo conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar
, ou seja,
e
. Uma condição necessária para que
seja conservativo é que as derivadas cruzadas satisfaçam
.
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo:
Calculando
:
E
:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de
que surge na constante de integração.
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Comparando os termos, vemos que:
Onde
é uma constante. Podemos ignorar
na função potencial, então:
Resposta
Sim, o campo
é conservativo. Uma função potencial é
.