Encontre o ponto na curva de
, sen
, em que a reta tangente é paralela ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um ponto na curva definida por
, onde
varia de
a
. A condição é que a reta tangente nessa curva seja paralela ao plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores tangentes e planos, e usar um pouco de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva. Para isso, derivamos
em relação a
:
Esse vetor nos dá a direção da reta tangente em qualquer ponto da curva para um valor específico de
.
Passo 3
Agora, precisamos entender o que significa a reta tangente ser paralela ao plano
. A normal do plano é o vetor cujas componentes são os coeficientes de
,
e
na equação do plano. Então, o vetor normal
é:
Para que a reta tangente seja paralela ao plano, o vetor tangente deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. Isso significa que o produto escalar entre
e
deve ser zero.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar:
Igualando a zero para achar o
desejado:
Passo 5
Resolvendo a equação:
Passo 6
Agora que encontramos
, vamos substituir esse valor na equação da curva para encontrar o ponto:
Resposta
O ponto na curva onde a reta tangente é paralela ao plano é
.
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Considere o campo vetorial
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Considere a curva
dada pela interseção do plano
com a parte da esfera
que está no primeiro octante, entre os pontos
e
.
Calcule