Encontre o ponto na curva de r(t) = <cos(t), sen t, e^(t), 0 <= t <= pi, em que a reta tangente é paralela ao plano raiz(3) * x + 3 * y = 1. \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um ponto na curva definida por , onde t varia de 0 a pi. A condição é que a reta tangente nessa curva seja paralela ao plano . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores tangentes e planos, e usar um pouco de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva. Para isso, derivamos em relação a t:
Esse vetor nos dá a direção da reta tangente em qualquer ponto da curva para um valor específico de t.

Passo 3

Agora, precisamos entender o que significa a reta tangente ser paralela ao plano . A normal do plano é o vetor cujas componentes são os coeficientes de x, y e z na equação do plano. Então, o vetor normal N é:
Para que a reta tangente seja paralela ao plano, o vetor tangente deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. Isso significa que o produto escalar entre e N deve ser zero.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar:
Igualando a zero para achar o t desejado:

Passo 5

Resolvendo a equação:

Passo 6

Agora que encontramos , vamos substituir esse valor na equação da curva para encontrar o ponto:

Resposta

O ponto na curva onde a reta tangente é paralela ao plano é .

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