Encontre o ponto na curva de , sen , em que a reta tangente é paralela ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um ponto na curva definida por , onde varia de a . A condição é que a reta tangente nessa curva seja paralela ao plano . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores tangentes e planos, e usar um pouco de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva. Para isso, derivamos em relação a :
Esse vetor nos dá a direção da reta tangente em qualquer ponto da curva para um valor específico de .

Passo 3

Agora, precisamos entender o que significa a reta tangente ser paralela ao plano . A normal do plano é o vetor cujas componentes são os coeficientes de , e na equação do plano. Então, o vetor normal é:
Para que a reta tangente seja paralela ao plano, o vetor tangente deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. Isso significa que o produto escalar entre e deve ser zero.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar:
Igualando a zero para achar o desejado:

Passo 5

Resolvendo a equação:

Passo 6

Agora que encontramos , vamos substituir esse valor na equação da curva para encontrar o ponto:

Resposta

O ponto na curva onde a reta tangente é paralela ao plano é .

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