Considere o campo vetorial
F(x, y) = (1 - y e^(-x)) i + e^(-x) j
1,0 Determine um potencial para F = vetor(F).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre Campos Vetoriais, que é um assunto da Cálculo Vetorial. A gente precisa encontrar um potencial para o campo vetorial dado. Isso significa que queremos achar uma função escalar tal que . Vamos precisar usar derivadas parciais e integrar funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que as componentes do campo vetorial são as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:

Passo 3

Vamos começar encontrando integrando a primeira equação em relação a :
Integrando termo a termo:
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que a integração foi em relação a .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar . Sabemos que:
Usando a expressão que encontramos para :
Isso implica que:
Portanto:

Passo 5

Se , então é uma constante. Vamos chamar essa constante de . Assim, a função potencial fica:
Podemos deixar para simplificar, já que qualquer constante serve como potencial.

Resposta

Um potencial para é

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