Considere o campo vetorial
Determine um potencial para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre Campos Vetoriais, que é um assunto da Cálculo Vetorial. A gente precisa encontrar um potencial para o campo vetorial dado. Isso significa que queremos achar uma função escalar
tal que
. Vamos precisar usar derivadas parciais e integrar funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que as componentes do campo vetorial
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja:
Passo 3
Vamos começar encontrando
integrando a primeira equação em relação a
:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a integração foi em relação a
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar
. Sabemos que:
Usando a expressão que encontramos para
:
Isso implica que:
Portanto:
Passo 5
Se
, então
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
. Assim, a função potencial fica:
Podemos deixar
para simplificar, já que qualquer constante serve como potencial.
Resposta
Um potencial para
é
Exercícios relacionados
Encontre o ponto na curva de
, sen
, em que a reta tangente é paralela ao plano
.
Considere o campo vetorial
Considere a curva
dada pela interseção do plano
com a parte da esfera
que está no primeiro octante, entre os pontos
e
.
Calcule
Considere o campo vetorial