Considere o campo vetorial
Determine um potencial para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre Campos Vetoriais, que é um assunto da Cálculo Vetorial. A gente precisa encontrar um potencial para o campo vetorial dado. Isso significa que queremos achar uma função escalar tal que . Vamos precisar usar derivadas parciais e integrar funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que as componentes do campo vetorial são as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:

Passo 3

Vamos começar encontrando integrando a primeira equação em relação a :
Integrando termo a termo:
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que a integração foi em relação a .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar . Sabemos que:
Usando a expressão que encontramos para :
Isso implica que:
Portanto:

Passo 5

Se , então é uma constante. Vamos chamar essa constante de . Assim, a função potencial fica:
Podemos deixar para simplificar, já que qualquer constante serve como potencial.

Resposta

Um potencial para é

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Encontre o ponto na curva de , sen , em que a reta tangente é paralela ao plano .
Considere o campo vetorial
Mostre que é um campo conservativo, sem calcular um potencial.
Considere a curva dada pela interseção do plano com a parte da esfera que está no primeiro octante, entre os pontos e . Calcule
Considere o campo vetorial
Calcule , onde é qualquer curva de a .